爱华网系列专题：《玩转华尔街：财富公式》
这个虚拟的赌注是这样的。彼得抛出了一个硬币，然后又继续这样的动作，直到当硬币着地时，其"正面"朝上。彼得答应如果第一次抛出硬币是正面朝上，则付给保罗1达卡，如果第二次还是正面朝上，就付给他两达卡；如果是第三次，则为4达卡；如果是第四次，则为8达卡；依此类推。每一次正面朝上，就需要将支付的达卡翻倍。设想一下如果我们想确定一下保罗的期望值。 平均来说，保罗应该能赢多少钱？想找到随机事件的数学期望值，你必须用其自身的值乘以它的可能性。第一次扔，正面朝上的可能性是1/2，这为保罗赢得了1达卡（相当于今天的40美元）。1达卡乘以1/2的可能性得到的期望值是1/2达卡。 这种推理只适用于第一次扔出来后硬币正面朝上的情况，还有很多其他的方式可以赢钱。假如第一次扔硬币，彼得输掉了，那么他会再扔。如果第二次投正面朝上，彼得就会赢得2达卡。赢得2特卡的可能性是1/4，因为包含了第一次扔反面朝上（1/2）和第二次扔反面朝上（1/2）的可能。2达卡乘以1/4的可能性得出的期望值是1/2达卡。 同样地，赢得4达卡的可能性为1/8，期望值是1/2达卡；赢得8达卡的可能性是1/16，赢得16达卡的可能性是1/32……所有这些不同的场景最终得出的期望值都是1/2达卡。所以保罗最终期望所赢得的数目是以1/2达卡为一般项的无穷级数，即他赢得的财产是无穷的。 玩这个游戏会使你无限富有吗？不会。如果你不相信，你可以试着扔一枚硬币，看看你会赢多少。 对于任何一个想用数学原理来决定在现实世界如何操作的人来说，无限期望都是一个很严重的问题。它意味着为获得玩这个游戏的权利，无论投入多少资金都是值得的。如果赌场要收你100万美元来玩这个游戏，理性的客户应该马上冲过来加入，至少看上去是这样。如果，赌场要收一万亿美元，结果也是一样。 你可能会更愿意把赌注看作是一只股票的初次公开发行。当对一家新公司进行评估时，人们一定会考虑各种盈利的机会，以及不同的可能性。但无论如何，他们最终会根据自己的预测，拿出一个合理的价位来购买股票。伯努利的例子说明，在一些情况下，传统的推理会使人们发现有一些股票值得他们不惜一切代价去购买。 无论是尼古拉斯还是丹尼尔 伯努利都知道这是荒谬的。丹尼尔这样写道， 虽然标准计算显示保罗的期望值可以无穷大，但是，我们要承认任何足够理性的人都会很高兴地以20达卡的价格把这个机会卖掉。事实上，虽然人们认可这个计算方式的结果，保罗赢的机会无穷大，但是没有人会愿意出高价来购买。 丹尼尔用俄语发表了他的上述言论。这个虚拟的赌注被人们称作"圣彼得堡赌注"或"圣彼得堡悖论"。从此之后，不断开始有人关注这个问题。约翰 梅纳德 凯恩斯在1921年发表的"概率论"提到圣彼得堡悖论是每一位20世纪经济学家的精神大厦的组成部分。在诺伊曼和摩根斯坦的"游戏理论和经济行为"一书以及在肯尼斯 阿罗、米尔顿 纲雷德曼和保罗 萨缪尔森的论文中，伯努利的赌注论都曾经被提及。
这个矛盾可以很容易被解决。我们要注意到，彼得必须要有足够多的财富才能最终拿到游戏的潜在奖金。没有人拥有无限的资产。因此，无穷级数的大部分条件是无法被满足的。赢得10005的奖金机会很小，小得都不值得你去计算。因为事实上没有人能够出得起这么高的奖金。 假定一家赌场出的奖金限额在10亿美元。那么赌注的价值会是多少？答案是：要少很多！假定开始的奖金是1美元，那么扔到31次正面朝上的奖金应该是1073741824美元。所以比较理性的做法是，赌场在第30次投掷后就结束游戏，将10亿奖金颁给任何一位得到了30个正面向上的人。然而，事实上这个被删减了的游戏期望值只有15.93美元。 这样计算就合理多了。赌注不可能是无限的，只是几个美元而已。对于这个谜团的解释，即使是最顽固的现实主义者也不能提出什么异议。但是，哲学家、数学家，甚至是经济学家，都不肯接受这个解释。许多人认为，可以假定彼得有无限的财富。但是谁会相信，彼得愿意不惜任何代价去玩这么一个游戏呢？
