爱华网系列专题：《玩转华尔街：财富公式》
门格尔的这一反例不是以美元或达卡而以效用单位（utiles）来计算赌注的奖金。效用单位是效用的假设单位。根据你投掷的次数，决定你将赢得1、2、4、8……个效用单位。赌注的价值，用期望效用来衡量，是无限的。理性人大概会放弃已有的一切来玩这个游戏，这仍然有点荒唐，因为他有可能仅赢得极少的效用单位。 从这里我们应该得出什么推断？可能没多少。保罗 萨缪尔森相信，圣彼得堡悖论种类繁多的版本"对经济学家而言，没有任何可怕之处"。问题的关键在于伯努利的效用函数从心理角度来看是不现实的，尤其是处于极端富有的情况时。
更好的解决办法是"幸福水平"。这大概就是效用的上限。算一下你需要多少钱可以满足你所有物质需求或欲望，那些钱，或相应的效用，就是幸福水平。 效用上限的作用类似于赌场能够付出的美元上限，在合理且有限的价值处截断无穷级数。 对数效用函数没有幸福水平。图中的曲线向右上方变得平缓，但一直保持上升。我们举个例子，这意味着对具有对数效用的人来说，将现有财富再增加10倍，幸福感是一样的。将你的净财富从1万美元增加到10万美元，与从10万美元增加到100万美元，或从100万美元增加到1000万美元时，你获得的幸福感是一样的。 这听起来，也可能有道理也可能没道理。在这个10倍财富的事例中，有一点难以理解。拥有100亿美元而不是10亿美元，是不是更有优势？当然如果你只关心"生活得好"，则不会更有优势。拥有10万亿美元比拥有1万亿美元，会不会带来更大的荣耀？如果你只希望成为地球上最富有的人，你当然也不觉得这会带来更大的荣耀。 对数效用也不是一个好的贫穷模型。它暗示了从你最后的100万财富中损失90%与从你最后一角钱中损失90%，你感觉到的痛苦是一样的。这很荒谬。 1936年，经济学家约翰 伯尔 威廉斯在《经济学季刊》上发表了一篇文章"投机与结转"，是关于棉花投机商的。他们在棉价较低时买入大量棉花，期望在一年或更长时间后高价卖出获利。投机商们"赌"第二年的棉花产量低，从而棉价会上涨。威廉斯注意到了此类活动中的机会因素。比如，没有人能够预测天气。他认为，成功的投机商一定有某种优势，他们一定知道一些市场不知道的东西。 在文章末尾的"概率注解"部分，威廉斯在他的计算中说道，"如果一个投机商在每一次交易中，都习惯性地冒着资本外加利润（或损失）的风险，他就会选择所有价格的几何平均值而不是算术平均值，来作为可能价格分布中的代表价格。"威廉斯并没有详细地说明这略显神秘的论断。这个论断与伯努利和凯利的想法密切相关。威廉斯是一位杰出的经济学家，因其股票可以通过红利估价的思想（现已不适用）而著名。但不管威廉斯多有名望，这个论断也没有得到多少关注，很快就被人们遗忘了。 自然的警告，远离赌博 1954年1月份，《计量经济学》的出版首次将伯努利1738年的那篇提及圣彼得堡赌注的文章译成了英文。当时几乎没有经济学家懂俄语，所以这篇文章的内容还不为人所知。最终的英文译本出版后，人们才发现，在很长的一段时间里他们都没有真正理解或者根本就低估了伯努利的成果。 这篇文章并不是完全讲述圣彼得堡赌注或者效用这个问题的，只是在里面作为附加部分提了一下。伯努利的论文认为风险投资应该由几何平均数的结果来衡量。 可能在学校的时候，你就知道有两种"平均数"。算术平均数是比较平淡的那一种，你把数字都累加起来，然后除以它们的总数，就会得到算术平均数。这类似棒球平均击球率或者平均成功率，如果你用EXCEL的电子制表软件计算，只要输入公式=AVERAGE（），你就会得到计算出的算术平均数。 不过大多数人们中学毕业以后，就都不再记得几何平均数了。几何平均数的计算方式是将一系列（n）的数字相乘，然后计算这个数字的n次方根。
