爱华网一、原起
我姥爷是远近闻名的铁皮匠，手艺那没得说，白铁皮到了他手里，锅窝瓢盆没有做不出的。去年春节时在我家住了几天，给我出了道不大不小的难题：烟囱弯脖处的图怎样画呢？我想这问题不太简单了嘛！我用纸笔涂糊了半天，将两部分三接五拼，看起来象是解决了但将两截纸筒接在一起就出问题，费了九牛二虎之力，终于是没搞出来。姥爷说：你虽然上过大学，但也不是什么问题都能解出来，我们老铁皮匠中，100人当中，也就能有一个将它画出来。我还是有点不服，但不服也没办法，还是没能解出来。眨眼一年快过去了，八月十五中秋节又到了，阵阵凉意袭来，又快到用烟囱的时候了，怎样将这一“高难”课题解决呢？用了一个晚上，终于还是通过电脑将这一难题搞定！
二、解题
图1
我们先再次审视一下这个弯脖！烟囱弯脖问题实质上是两个圆筒交叉形成的（如图1左图所示），两个交叉的烟囱一样粗细，又垂直相交，交叉面是个椭圆，且同每个烟囱都呈45度的角。我们可找两截粉笔或其它的东东磨掉一部分看一下，问题的难点不在此处，交叉处是个椭圆，这谁都知晓，那难点在哪里呢？
难点在于要将这个截开的面放在一个平面上，因为卷烟囱是通过铁皮卷起来的，而不是两根钢管焊起来的。所以牢记：我们要的是平面图。问题的难度正在于此。
怎样将这个平面图做出呢？
图2
两节烟囱模样是一样的，我们将其中的一部分拿开了，因为两部分是相似的，所以我们只要研究一部分就可以了，在这一部分中，由于两半是相似的，我们只要研究其中的一半就行了（如图2阴影所示），我们的工作事实上就是将阴影部分展开成一个平面。
我们就以这部分为例加以说明。
要展开阴影，纯圆形的部分是容易算的，展开后是一条直线，长度为πr，难点就在于要展开椭圆的部分，其一定不是一条直线，或者说是一条我们并不确定的曲线，怎样展开呢？因为圆上的各点和椭圆上的各点有种一一对应关系，由此，我们可以圆为参照物，将椭圆展开。
图3
展开的过程中我们遵循由易到难的原则：最容易展开的是两个点，C和B（如图3示），C展开后还在原地（用C’表示），仍旧是0，最长的部分是和B对应的椭圆上的点B’正好到B点的距离是2r，它们对应于半圆展开后的0和πr位置（如图3所示）。另外还有一个位置也值得我们关注，即1/4圆的位置，展开后长度是πr/2，此时的角正好是一个直角，其组成一个正方形ODEO’，我们容易得出此时对应于此处圆弧的椭圆上的点在E’处，长度是r。
但是这是三个非常特殊的点，不具备一般性，直角的位置虽不具有一般性，但这种做法给出了我们一种找出对应点的方法：
找到具一般性的点，在半圆弧上任取一点W，对应的角为θ，现在有好戏看了！
M点对应的弧长即θr，而和W对应的椭圆上的点在哪里呢？关键是求其长度，而这个长度正是KM(图3示)，KM长度是多少呢？直接求不好求，但我们可以利用长方形WMNK来将问题转化，MN和KW长度相同，因为两个交叉面是45度角，所以KM的长度和MC相同，也就是：r-rcosθ。这样，这个问题就从理论上解决了，我们尽量多地取θ的不同值，通过描点的方法，平面图也就有了。
所以其中的重点问题是角θ和所处的正方形及三角形形成的各种关系上（如图3示）。
有了上面的解释，下面我们可以编程解题了。
三、编程
做平面图实质上是通过描点的方式来完成的一个近似图。首先将圆的一半展开，因为交叉面椭圆的点和圆上的点有一一对应的关系，以圆为蓝本，我们就可通过取值计算其垂直距离得到，每一个交叉点要用到两个数据，到C点的距离，也即圆弧长，另一个是两截面上对应两点的距离，图越准确，要取点数越多。因为π的值为3.14，我们可以取314个点来做出这个图形，加上开始的0位置，一共315个点，这么多的点，最好通过数组来完成，因为一个点要用两个值，所以可通过二维数组来完成。定义二维数组a(1,314),其中a(0,0)-a(0,314)表示在圆弧上取得的点到C的距离，而a(1,0)-a(1,314)表示圆弧上的某点到椭圆截面的距离。而我们做图，可以充分利用上述两数组中的数据。
四、界面源程序
界面比较简单，建立一个标准EXE工程，在窗体中放入一个按钮，一个标签，两个文本框和一个图片框。按钮用来控制代码执行，标签起到说明的作用，文本框一个用来调整半径r的大小，另一个则用来输出对应的各数值对。图片框用来输出其图象。
图4
源程序及解释如下：
Dim a(1, 314) As Double
Dim r As Long 半径
Private Sub CmdCalcu_Click() 计算并画图
Dim i, j As Integer
Picture1.Cls
r = Val(TxtNumber.Text) 输入半径值（毫米为单位）
If r = 0 Then r = 100
For i = 0 To 314 ‘计算到K点的距离
a(0, i) = i * r / 100
Next i
For i = 0 To 314’计算机圆到截面距离
a(1, i) = r - Cos(i / 100) * r
Next i
TxtListnum.Text = ""
‘在文本框中输出几组值
For i = 0 To 314 Step 10
TxtListnum.Text = TxtListnum.Text + "第" + Str(Int(i / 10) + 1) + "组:" + Str(a(0, i)) + "" + Str(a(1, i)) + vbCr + vbLf
Next i
For i = 0 To 314 Step 1 左半边图片框
Picture1.Line (10 + a(0, i), 10)-(10 + a(0, i), 10 + a(1, i)), vbBlue
Next i
For i = 314 To 0 Step -1 右半边图片框
Picture1.Line (10 + 314 * r / 100 + a(0, i), 10)-(10 + 314 * r / 100 + a(0, i), 10 + a(1, 314 - i)), vbRed
Next i
End Sub
（上程序在VB60中文企业版、win2000下调试通过）
五、小结
一个难倒多少人的小题通过电脑就这样轻松解决了。其实这里面也没有什么高深的知识，关键是数据多比较麻烦。我姥爷那代人没赶上电脑，我们有了电脑，对生活中的问题稍加注意，就可以用上了！留心生活，到处是编程的素材。
最后加上句：谢谢电脑，谢谢姥爷！
另类解法：
当然，进一步地，我们还可推导出这条曲线的函数公式：y=r-rcos(x/r),利用这个公式，可以写出更加简洁的程序！
Private Sub CmdDraw2_Click() 第二种方法绘制
Picture1.Cls
Dim x As Double
r = Val(TxtNumber.Text) 输入半径值（毫米为单位）
If r = 0 Then r = 100
For x = 0 To 6.28 * r Step 0.01
Picture1.PSet (10 + x, r - r * Cos(x / r) + 10), vbBlue ‘通过描点的方法绘制
Next x
Picture1.Line (10, 10)-(10, 310), vbBlue
Picture1.Line (10 + 2 * 3.14 * r, 10)-(10 + 2 * 3.14 * r, 310), vbBlue
Picture1.Line (10, 310)-(10 + 2 * 3.14 * r, 310), vbBlue
End Sub
