爱华网初中阶段，我们学习了数学中的一个重要概念：数轴――数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。 一、对于数轴的理解我认为有四个方面的作用。 1、数轴能反映出数形之间的对应关系。所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来，而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。 ??? 2、数轴能反映出数的性质。数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数——零，是个中性数；有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧。 ??? 3、数轴能解释数的某些概念。??? ①相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。这样可将表示两个相反数的两点理解为，从原点沿数轴作相反方向的等距离的平移所得到的两个点，故相反数是一对只有符号不同的两个数。 ??? ②绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念，一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。 ??? ③近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表示出某一近似数的精确度。如，近似数3的精确度可在数轴上表示，即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。 ??? 4、数轴可使有理数比较大小形象化。??? 两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。当数轴水平放置且规定向右方向为正方向时，较大数所对应的点总是在较小数所对应的点的右边。因此，在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。 ??? 不相等的有理数比较大小，一般可分为3个类型，即有理数与零之间的比较大小、异号的有理数之间比较大小以及同号的有理数之间比较大小。其比较大小的结果可归纳为： ①正数大于零，负数小于零； ②正数大于负数； ③两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小。 二、对于某些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快。现举例说明。 1、用数轴比较实数大小，解决求样本的中位数的问题。 问题1：由小到大排列的一组数据x1,x2,x3,x4,x5，其中x5<-1，则1,x1,-x2,x3,-x4,x5，的中位数是____________。 分析 要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数轴。 解：在数轴上任取x1,x2,x3,x4,x5表示的点，使x1 2、用数轴求字母的取值范围求值 问题2：下列四个数中，在－2到0之间的数是（ ） A. －1 B. 1 C. －3 D. 3 分析：由图2，知在－2到0之间的数是－1，故选A。 3、用数轴，解含有绝对值的方程 问题3. 解方程: 分析：由绝对值的几何意义知，此方程表示在数轴上求一动点x，使x到定点A（－3）的距离与到定点B（1）的距离之和等于6，如图3。由数轴上的点的性质可知，这样的点x有两个，即表示－4与2的点，所以方程的解为x＝－4或x＝2。 4、用数轴取零点，求最值 问题4. 若，求的最小值。 分析:在数轴上标出m，n，p的大致位置，如图4，于是问题转化为在x轴上求一点，使它到m，n，p所对应的三点距离的和最小。易知当x＝n时，它到m，n，p所对应的三点的距离之和最小，故当x＝n时，的值最小，最小值等于。 5、运用数轴变换两圆的位置关系 如图：数轴反映两圆的位置关系和数量关系：设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1，R2，圆心距为d，则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来。 问题5： 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（） A. 内含 B. 外离 C. 内切 D. 相交 分析:由题设，知：＝2，R1＋R2＝8， 由图5知＜d＜R1＋R2 故两圆相交，选D。 6、借助数轴,进行代数式的化简 问题6、已知有理数a、b在数轴表示的位置如图6所示， 试化简： ???? 观察数轴上字母的位置不难发现，a+b＞ 0 ， a-b＞0 根据绝对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解. 7、用数轴，巧妙解题 问题7，如图7：数轴上A、B、C、D四点对应实数都是整数，若A对应实数a，B对应实数b，且b - 2a = 7，那么数轴上表示原点的是（ ） 分析：若A为原点，即a = 0、则b = 7，这与A、B间
只相距三个单位长度，与已知条件相矛盾；若B为原点， 即b = 0，由已知条件b - 2a = 7得：a = – 3.5,则a不是整数,与已知条件相矛盾；若D为原点，那么a = – 6 , b = – 3 ，这样b - 2a = – 12与已知条件b - 2a = 7相矛盾；故选C，（若C为原点，即c = 0，则由图可知a = – 4、b = –1，能使等式b-2a=7成立，所以C为原点） 8、无理数的理解： 问题8：1）关于π的理解： 认识1：从理论上讲是这样子的：π=3.1415……那么在数轴上取两点，分别是3和4，那么π肯定在这两点之间再取3.0和3.2 ，那么π又在这两点之间，依此类推，步步逼近，最后得到π在数轴上的位置。 认识2：用直径为1的圆,从数轴原点,沿数轴滚动一周，所得到的点的位置，就是π。 问题9：的认识： 好奇的古希腊人在数轴上以线段[0,1]为底边作正方形，以O为圆心，过 O 点的对角线为半径画弧，交数轴正方向于D。D点表示的数是。 以上是我在初中教学中，对数轴的一些用法，感觉数轴它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方面的数学问题，是研究初中数学的有效工具之一， 也是培养学生提高分析解题能力的好工具。
