巧妙运用动词写文章 运用数轴,“巧”变换



     初中阶段,我们学习了数学中的一个重要概念:数轴――数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线,它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具,通过数轴,它将数与形结合在一起,揭示了数与形之间的内在联系。

  一、对于数轴的理解我认为有四个方面的作用。

  1、数轴能反映出数形之间的对应关系。所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来,而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说,有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。 ???  2、数轴能反映出数的性质。数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线,有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数——零,是个中性数;有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置:当规定向右的方向为数轴的正方向时,表示正有理数的点都在原点的右侧,表示负有理数的点都在原点的左侧。 ???  3、数轴能解释数的某些概念。???  ①相反数:将一对相反数表示在数轴上,表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说,表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等。这样可将表示两个相反数的两点理解为,从原点沿数轴作相反方向的等距离的平移所得到的两个点,故相反数是一对只有符号不同的两个数。 ???  ②绝对值:用数轴可以形象地解释绝对值的概念,一个数的绝对值,就等于表示这个数的点离开原点的距离。 ???  ③近似数:近似数是与实际接近的数,用数轴可表示出某一近似数的精确度。如,近似数3的精确度可在数轴上表示,即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。 ???  4、数轴可使有理数比较大小形象化。???  两个有理数比较大小,可以借助数轴这个工具进行。当数轴水平放置且规定向右方向为正方向时,较大数所对应的点总是在较小数所对应的点的右边。因此,在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大。 ???  不相等的有理数比较大小,一般可分为3个类型,即有理数与零之间的比较大小、异号的有理数之间比较大小以及同号的有理数之间比较大小。其比较大小的结果可归纳为: ①正数大于零,负数小于零; ②正数大于负数; ③两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而小。

  二、对于某些数学题,若利用数轴求解,不仅能够化难为易、化繁为简,而且解法直观、明快。现举例说明。

  1、用数轴比较实数大小,解决求样本的中位数的问题。

  问题1:由小到大排列的一组数据x1,x2,x3,x4,x5,其中x5<-1,则1,x1,-x2,x3,-x4,x5,的中位数是____________。

  分析 要求所给的六个数据的中位数,只要将这六个数据从小到大依次排列,求出排在第三和第四的两个数据的平均数,即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点,我们可以借助数轴。

  解:在数轴上任取x1,x2,x3,x4,x5表示的点,使x1  2、用数轴求字母的取值范围求值

  问题2:下列四个数中,在-2到0之间的数是( ) A. -1  B. 1  C. -3  D. 3

  分析:由图2,知在-2到0之间的数是-1,故选A。

  3、用数轴,解含有绝对值的方程

  问题3. 解方程:

  分析:由绝对值的几何意义知,此方程表示在数轴上求一动点x,使x到定点A(-3)的距离与到定点B(1)的距离之和等于6,如图3。由数轴上的点的性质可知,这样的点x有两个,即表示-4与2的点,所以方程的解为x=-4或x=2。

  4、用数轴取零点,求最值

  问题4. 若,求的最小值。

  分析:在数轴上标出m,n,p的大致位置,如图4,于是问题转化为在x轴上求一点,使它到m,n,p所对应的三点距离的和最小。易知当x=n时,它到m,n,p所对应的三点的距离之和最小,故当x=n时,的值最小,最小值等于。

  5、运用数轴变换两圆的位置关系

  如图:数轴反映两圆的位置关系和数量关系:设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1,R2,圆心距为d,则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来。

  问题5: 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,两圆的圆心距是6cm,则两圆的位置关系是()

  A. 内含 B. 外离    C. 内切 D. 相交

  分析:由题设,知:=2,R1+R2=8,

  由图5知<d<R1+R2

  故两圆相交,选D。

  6、借助数轴,进行代数式的化简

  问题6、已知有理数a、b在数轴表示的位置如图6所示,

  试化简:

  ???? 观察数轴上字母的位置不难发现,a+b> 0 , a-b>0 根据绝对值的意义,很容易去掉绝对值符号,问题迎刃而解.

  7、用数轴,巧妙解题

  问题7,如图7:数轴上A、B、C、D四点对应实数都是整数,若A对应实数a,B对应实数b,且b - 2a = 7,那么数轴上表示原点的是(  )

  分析:若A为原点,即a = 0、则b = 7,这与A、B间

 巧妙运用动词写文章 运用数轴,“巧”变换
  只相距三个单位长度,与已知条件相矛盾;若B为原点,

  即b = 0,由已知条件b - 2a = 7得:a = – 3.5,则a不是整数,与已知条件相矛盾;若D为原点,那么a = – 6 , b = – 3 ,这样b - 2a = – 12与已知条件b - 2a = 7相矛盾;故选C,(若C为原点,即c = 0,则由图可知a = – 4、b = –1,能使等式b-2a=7成立,所以C为原点)

  8、无理数的理解:

  问题8:1)关于π的理解:

  认识1:从理论上讲是这样子的:π=3.1415……那么在数轴上取两点,分别是3和4,那么π肯定在这两点之间再取3.0和3.2 ,那么π又在这两点之间,依此类推,步步逼近,最后得到π在数轴上的位置。

  认识2:用直径为1的圆,从数轴原点,沿数轴滚动一周,所得到的点的位置,就是π。

  问题9:的认识:

  好奇的古希腊人在数轴上以线段[0,1]为底边作正方形,以O为圆心,过 O 点的对角线为半径画弧,交数轴正方向于D。D点表示的数是。

  以上是我在初中教学中,对数轴的一些用法,感觉数轴它虽小,但作用很大,用途很广,借用数轴可轻松解决多方面的数学问题,是研究初中数学的有效工具之一, 也是培养学生提高分析解题能力的好工具。

  

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