爱华网高老师：
您区分物理世界与人的世界，以及提出的有关的看法，在我看来不仅正确，而且非常有意义。是的，两个世界事物之间的关系在稳定性上大不一样，这决定了两个世界中知识获取方法是不一样的。受您的启发，我在想，交易费用的约束是人的世界所特有的。我们有一种比喻，将交易费用比做物理世界的摩擦力。其实这个比喻是不贴切的。在物理世界，知道一台拖拉机拉多少斤，就知道两台拖拉机能拉多少斤，是可以确定的。但是在人的世界，知道一个人扛多少斤，却不能确定地知道两个人在一起能扛多少斤。有些时候交易费用是一个很人性化的东西，这决定了数学方法不可以简单地用于人的世界。我曾经想：在正交易费用的世界，简单将不同人的所得相加总来构造福利函数讨论效率问题，是错了的。例如，简单将垄断利润和消费者剩余相加总构造福利函数，来讨论垄断的效率问题，就是错了的。
不是不可以用数学方法，而是一定要注意这种方法的适用范围、适用条件。
第一，数学能帮助逻辑推理，但逻辑正确，结论未必正确，结论正确与否还依赖于前提假设。前提假设的取舍规定可就是真实世界的事了。你去看传统的外部性分析，看传统的公共品理论分析，逻辑上都没有毛病，严谨的很，但结论就是不那么可信，原因就在于忽略了真实世界的某些约束，就在于做了一些不切实际的前提假设。
有些时候，数学是可以帮一点忙的。比如，我们可以借助统计学来对前提假设进行取舍决定。但我们也要知道，应用统计方法，样本的取舍、方程的设定是极其重要的，而这些东西都是真实世界的事。所以归根结底，前提假设的取舍规定是真实世界的事情。
倒也不是没有例外。作为理论基准的模型，我们所需要的恰恰是“无关性”命题，在这里模型的前提假定可以与现实不相符，也一定与现实不相符。本来我们要去寻找事物之间的因果或者相关关系，但是在基础上，我们要搞出一个“无关性”命题。这是很意味深长的事。比如MM定理，比如科斯定理，都是“无关性”命题。我们以MM定理为参照，看现实中是什么违反了这一定理的假设条件，就知道是什么因素使得不同的金融工具收益不一样了。我们以科斯定理为参照，看现实中是什么违反了这一定理的假设条件，就知道是什么因素使得产权与效率相关的。我的判断：作为理论基准的模型，前提假定可以与现实不相符，也一定与现实不相符。但是，舍此所有别的研究就要求理论的前提假设与现实世界相符合了。而且，我们还要知道，理论基准不是越多越好，而是越少越好。
第二，数学是很精密的工具；正因为很精密，所以会失之毫厘，谬以千里。一些数学方法，一定要满足它赖以成立的条件。比如，用线性的东西去近似非线性的东西，是有条件的。但您看看那些充斥杂志的线性回归模型，很少有对模型本身进行检验的。再比如，回归方程要求自变量之间独立，然而很少有人去在意这方面的问题。这样多费事呀，也许一年半载发不了一篇文章。也许，很多人根本就没有意识到这样的问题。
杂志上简单地做回归分析，以判断初始条件更重要还是转轨方式更重要。我一见这样的工作，就不看了。明明转轨方式依赖于初始条件的嘛！可不是只要是数学方法获得的结果，就都是可靠的。明明真实数据呈椭圆型分布，定要去做线性回归，那是一定要得到一条回归直线的。但是这条直线可信吗？有什么意义吗？一点也不可信，半点意义也没有。
在社会科学中，由于不能做可控试验，要满足数学方法赖以成立的条件常常难以做到。方法愈精确，使用起来愈是要小心谨慎。与其“精确地错”，不如“粗略地对”。所以有些时候，我宁愿相信张五常根据垃圾量来判断人们生活水平之高低，宁愿相信您根据电力紧张程度来判断经济景气程度，也不愿意相信那些精确的数学模型和结论。我同意您的观点：数学方法产生久远了，应用于自然科学久远了，为什么它不曾及时地普遍地应用于社会科学呢？想前人是知道这其中的困难和问题的。前人和今人何以有这样的差别，这倒是需要解释的。
我本人是学数学出身的，曾经搞过几年数学。我有一种感觉，很多的时候，经济学界是在滥用数学，是在糟蹋数学。我有一些数学界的朋友，他们对经济学界的所作所为甚是嗤之以鼻。我把话说得极端一些吧，可能我们的很多经济学者，并不理解数学的精髓，并不理解数学的精妙和局限，只是照猫画虎般套用一番。这是很可悲的。这不仅仅是经济学的悲哀，也是数学的悲哀吧。
谢作诗
作诗：
你是教授，又在两所大学授业，我上次的想法还是梳理下为好。
我觉得，洋务运动对实业科技崇拜与五四提倡的科学，二者向来没有很好被区分。五四所讲的科学不是指某一门具体的学科，如物理学、数学，或具体的哪个科技部门，它讲的是思想方法，如胡适的“大胆假设，小心求证”。
假设什么呢，假设客观事物之间的关系。大哲学家、数学家罗素非常强调“关系”，他大致还将关系分成六类；科学哲学的先驱人物、物理学家马赫直截了当地将科学定义为就是发现和确证事物间的函数关系。求证什么呢，求证关系的真假，同时也将科学所追求的关系与道德价值好恶、神学迷信所武断认定的关系区分开。
科学感兴趣的不是个别事物之间的关系，而是某类事物更一般化的关系，因为人类要靠这类一般化的规律、法则、或说真理，来演绎推导预言个别关系，以决定如何行为。个别关系只是科学假设和想象某类关系的起点或诱因，如传说中苹果落地对牛顿的启发；还有就是个别事物关系作为一个可观察结果，来实证某类更一般更抽象关系的演绎推导及预言知识的真假。早年在美国专门去听过大师卡尔纳普一学期课的张五常，强调要拿捏住科学的方法论的重心，其实就是两点，一、理论要约束行为，解释和推测事物间的个别关系要与一般抽象的假设有逻辑必然，否则就是用事实解释事实；二、演绎出的个别关系要可观察；其实，在波普尔看来，如果一种抽象的一般化的关系知识更接近真理，那么它演绎出来的可观察的个别关系是以前未观察到的就更对他的胃口。如星光在太阳表面弯曲这种个别关系的被观察到，对爱因斯坦广义相对论就是异乎寻常的有力证实。对知识的真假，科学哲学对以往的唯理论和经验论做了个综合，让人明白获得一个可能是真的关系、真的知识、大致被称做科学的东西，要满足什么条件，遵守什么认识规矩。人类认识论还有许多新的进展。
数学是一种有力的认识方法。事实似乎是，近代以来人类思考事物关系的路径，已不仅仅是从经验的具体或个别到抽象一般了，而是更有效率了，先利用数学工具大胆假设事物间的关系，然后再说小心求证和观察个别了。甚至，数学假设的事物间的关系那样优美，物理学家们对观察实证常常还表示出不屑，如爱因斯坦对人们关于广义相对论的可观察问题的议论就大不以为然。在物理研究中，人在一旁还弄不明白时，数学常常自行地都把关系推导出来了，薛定谔、海森堡等人在应用数学波动方程矩阵方程研究量子世界时都遭遇过这种情形。物理学史实似乎也表明，只要数学武库里还有武器往外拿，物理世界就是可知的；人类关于难以观察的物理世界的知识越来越依赖数学的提点了。有了高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶等的非欧几何，爱因斯坦的广义相对论才可以假设和想象。想想二战前德国哥廷根大学有多少象希尔伯特、普朗克那样的世界级数学家、物理学家，就知道数学对我们获取物理世界的关系知识的巨大力量了。
数学的力量是需要解释的。科学哲学的大师莱欣巴哈的解释是，数学与物理世界是同构的。数学开始于对可观察物理世界关系的形式化，如欧氏几何。为了方便认识复杂的客观事物及关系，人类将它们分类；研究这些类之间复杂的包含与被包含关系。数学本质上是一门“类包含”的学问，它将事物分类形式化，用方程来定格表示（现在一些运用数学的人注意关系的精确，我觉得最重要的是关系的真假；尤其对认识人的世界来说，对精确的假与大致的真没有领悟是一种不幸）。客观世界可观察到什么程度是技术发展决定的，我们最初的知识边界是可见光划定的；引导着人们去假设、想象、探索着暂时不可观察的世界，数学这门形式化的工具多么有力是常人难以想象的。
我觉得具体些说，数学形式化的力量，在于它所处理的物理世界具有可形式化的稳定性。第一，决定事物间关系的条件是稳定的。比如地球与太阳及其它行星的关系是引力决定的，引力至今稳定存在，它所决定的物与物的关系也是不变的；第二，物理世界的无机物对条件作用的反映是稳定的。物理世界的稳定给了数学演绎推导事物关系的方便和大展拳脚之地。条件的稳定，事物间关系的稳定，以至大数学家康托尔想象出“无穷”这个概念。整数包含偶数和奇数，从无穷角度看，整数和它所包含的偶数竟然是一样“大”的；在认识论上就意味着：局部“等于”整体。物理世界的稳定性，就意味着关于它的局部关系真理可以推而广之，一般化得厉害。
数学的帝国主义步伐很快，美国都有用数学来研究人类历史的专业了。但美国的顶尖数学家们上世纪末集体出了本名为《今日数学》的书里却承认，数学在生物世界进展不大；霍金在其名著《时间简史》中也遗憾地说，数学在人的世界成功很少。
我给汪丁丁谈过，想让他或是杨小凯、钱颖一写写数学在经济学的适用范围。他说他也想说，但让我先请钱杨两位。但后来我想问题不是这样的，我想问的是，上千年以来数学在人的世界为什么没有在物理世界取得那样的丰功伟绩。
我自己的猜想是，人的世界没有物理世界的稳定。拿经济学来讲，人行为的约束条件是价格及厉害，它是变化的，远没有物理世界的引力稳定；自然，关系就谈不上稳定。比如日本汇率与日本的对外投资，美国经济增长与中国的出口等等，这些关系在几年前都是“常识”，然而，这些关系现在都不复存在了，因为决定它们关系的厉害和价格变了。再说，在同样条件下，人与人并不象无机物那样反映一律，比如某种制度价格或物品价格变化后，你不能指望人人反映相同。柏拉图的“卫国者”想象，毛泽东大搞斗私批修的实践，都试图将人改造得能对某种外部作用作出理想的一致反映，但事实并不理想。
我曾问过汪丁丁，为什么欧洲大陆在人的世界不如它们在物理世界有知识，如法国大革命、纳粹德国、斯大林暴政。丁丁没有答案。我的猜想是，欧洲大陆的世界观和方法论都是唯理论支配的，唯理论是由数学支配的，笛卡儿、莱布尼茨、康德既是大哲学家又是大数学家。以数学为支撑的世界观和方法论可以有效地获取物理世界的知识，但这种方法来处理人的世界却很失败。相反，为经验论支配的英美，尽管，1870年以前，数学在美国实际上是名存实亡的，但它们处理人的世界却显得比欧洲大陆有知识。比如英国稳健的光荣革命，至今尚保留着女王等。二战前德国的物理数学知识全球翘楚，但这种知识却处理不了人的世界；从另一方面看，人的世界处理不好，但只要数学传统在，物理世界的知识却不会太差；冷战时，前苏联军事科技可以与美国叫板，有资源畸形配置的原因，但苏联有着罗巴切夫斯基数学传统也是很大一个原因。美国人二战获得的最大战利品是欧洲大陆的数学家和物理学家，现在似乎有点象当年卷入两次世界大战的德国那样（那时的世界，数学物理学惟德国马首是瞻），让物理和数学的思维支配他们对人的世界的关系的处理，看来并不如人意。
我的意思是，人所面临的是多个世界，认识方法的适用和统一需要思考。中山大学王则柯教授前不久曾说，在学生们接受了现代经济学教育训练后，张五常热就消散了。他所说的“现代训练”，就是大量应用数学来处理人的世界。我认为这只是一个知道“数数”（罗素语）的数学教师的意气用语。科学，除了指人们研究的某一事物的关系是真的，重要的还指我们研究的方法适用于你所面临的那个世界。
高小勇
