mat内存分析工具 第34节:第二章 分析工具(15)



系列专题:《价格理论及其应用:决策、市场与信息》

  细心的读者会注意到,人的数目是离散而非连续的变量。但这个命题当然还是正确的。本章最后的题目中有一个就是问,如果变量是离散的,如何重新理解命题2 1a、2 1b和命题2 2a、2 2b、2 2c。

  数学注脚:下面证明命题2 2a,即AR下降时MR在AR下方。AR下降一定是:

  0>d(AR)dQ=d(R/Q)dQ=Q(dR/dQ)-RQ2

  这个不等式规定了最后一项的分子必须为负数。于是有dR/dQ<R/Q,即MR<AR:边际收入总是小于平均收入。命题2 2b和2 2c可以类似地证明。

  总量达到最大值,并不意味着相应的平均量或边际量也达到了最大值。其实,如前所见,总量达到最大值时,相应的边际量等于零。虽然这时相应的平均量通常为正数,但也并不是最大值。

  最优化就是要求出一些越大越好的变量(如利润或效应)的最大值,或越小越好的变量(如成本)的最小值,所以经济学家要使用命题2 1c来解决最优化问题。假设你要托运行李,收费是按重量(一个连续的变量)的一个比例来计算。那么在计算托运的最优磅数时就要权衡再增加一磅(或它的一个比例)行李的收入与你要额外支付的费用。同样,企业在多生产一单位产品既不会增加也不会减少利润时,其利润达到最大值。

  图2 10的下方图还说明了另一个原理:

  命题2 2a:当平均量下降时,边际量一定位于它的下方。

  想象一下一个房间里的人的平均重量。如果某人走进来,导致平均重量下降,那么边际重量(刚走进来的那个人的重量)一定小于平均重量。图2 10里,每新增一单位产量都使平均收入减少(AR一直在下降),因此边际收入曲线MR总是位于AR的下方。

  用类似的推理可得:

  命题2 2b:当平均量上升时,边际量一定位于它的上方。

  命题2 2c:当平均量既不上升也不下降(达到最小值或最大值)时,边际量等于平均量。

  图2 11的上方图是一家企业的总成本曲线C。

  图2 11中的总成本即使产量为零时也是正数。这是因为存在着即使什么都不生产也要支付的固定成本(如厂房的租金)。从图中的总成本函数推导出边际成本MC时,记住MC是C的斜率。上图的成本曲线往右到K点为止,其斜率一直在下降,此后成本曲线就变得越来越陡峭。与此相对应,下方图的MC下降到K′点并达到最小值,然后就开始上升。

  图2 11从总量函数推导平均量和边际量:成本

  下方图是从上方图的总成本函数C推导出来的平均成本AC和边际成本MC。总成本函数的斜率最小时,该产量上的MC达到最小值。从原点到总成本曲线作直线,斜率最小时(上方图的L),AC达到最小值。当AC下降时,MC位于它的下方;当AC上升时,MC位于它的上方。从原点到总成本曲线上的射线的斜率,是相应产量的平均成本AC,为该点的纵轴距离(成本C)除以横轴距离(产量Q)。沿着总成本曲线向右移动,从原点发出的射线的斜率在L点之前都在下降,此后就开始上升。因此下方图的AC在L′点之前下降,此后就开始上升。这意味着产量为L′时AC达到最小值。[注意,如果固定成本是正数,平均成本AC≡C/Q在纵轴上(Q=0)时是无穷大]。

  上方图中,L左边的任何一条从原点到成本曲线的射线都比成本曲线本身陡峭。由于射线的斜率大于成本曲线的斜率,所以这一范围内任一产量水平上的AC都比MC大。这再次证明了命题2 2a:当AC下降时,MC位于AC的下方。

  L右边的任何一条从原点到成本曲线的射线都比成本曲线本身平坦,因此AC比MC小。这证明了命题2 2b:AC上升时,AC小于MC。

  最后,从原点到成本曲线上的L点的射线,与成本曲线本身在L点上的斜率一样。这意味着L点处的边际成本=平均成本,证明了命题2 2c。

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  下面的例子是关于无视边际概念所导致的政策错误。  

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