爱华网在智商这个词上，经常有人会把因果颠倒
常常看到有人评价别人能力差是因为他的智商低，这完全拧巴了。
盲人摸象的寓言我们都学过，其实智商就是摸象的瞎子之一，不过摸得是“人类思考能力”这只大象。要知道人类思考的原理可远比大象的外形复杂多了，但很多人还会犯“摸到象腿就说大象像柱子”这样的错误，“智商”就是最常见的误用。
智商只是一个局部测量量，测智商就像测体温，在不同的位置测，结果是不同的。它只能反应局部的、表面的状态，尽管可以作为系统整体性能的参考，却不能说系统整体都是这样的，更不能说这就是系统效率高低的原因。
还是用体温来做类比，疾病和体温是因与果的关系，人体受到病菌入侵使免疫系统激活，促使体温上升，才使测体温时的温度偏高，所以体温高不是患病的原因，是表面症状！
同样，不同人的思维习惯有好有坏，好的思维习惯会提高正确率和反应速度，在测智商时分数会偏高，所以思维习惯好才是根本原因，智商高只是表面的结果。
总之，智商是结果、是症状，而不是思考能力高低的原因，不要颠倒因果。
为什么物理很好，但数学却不理想？
因为你还不具备好的数学思维习惯，数学比物理要抽象一些，需要进行更多的数学思维训练才能掌握。
物理比数学好学一点，是因为物理是具体的，所有的物理定律都有现实中的物理现象来对应，只要你注意观察和实验，就可以理解物理规律。很多人在思考物理问题时，借助于头脑想象和推演就可以得出结果，不需要用笔来算。
但是数学要难一些，因为对大多数人来说数学是极为抽象的，在他们眼里，数学是数、是公式、是一大堆难记的定理。在思考数学问题时，必须依赖于纸笔去演算和推理结果，数学规律也是要靠反复做题的题海战术来熟悉，无法做到凭大脑的想象就能直观的“看到”结果。
题海法的优点是简单易行，教学上人人可做，但缺点是思维效率极低，高昂的学习成本和思维成本，毁掉了无数人对数学的兴趣和自信！以至于很多人怀疑起了自己的智商。
要想提高数学的思维效率，最关键的是用正确的数学思维习惯来降低思考的成本，最终做到不借助纸笔演算就能思考数学问题！
真的能做到不用纸笔来思考数学问题吗？
其实数学家都是这样的，接下来我用三个数学大神作为案例来分析他们是如何做到的。
“数学王子”——
“最后的通才”——
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“数学的莫扎特”——
他们是如何做到不用纸笔来思考数学问题的呢？
其实也没有什么奥秘，就是因为他们的计算量远远超过我们常人，而不是因为他们先天的基因好，就像所言：“无他，但手熟尔”。
就这些？熟能生巧？你TM的在逗我！！！
当然不是这么简单了，如果只有这些，人人都可以做大神了？
好吧，先说结论，再慢慢展开分析：
他们都有正确的数学早期教育
他们都有最持久的动力系统
他们都有遍历整个领域的习惯
请牢记这三条，这些因素让他们的计算量远远超越常人，在很小的年龄就具备了内在的视觉洞察力，成为普通人难以企及的数学“天才”。
什么是内在的视觉洞察力？
以汉语为例，注意下面这三个字
静 夜 思
你脑中的第一反应是什么：
中国成年人，第一反应可能浮现出李白这首诗所描绘的可视化场景。
中国儿童，第一反应可能会马上背诵唐诗，但要问他这首诗是什么意思，他会说不知道。
学过汉字的外国人，会把这三个字念出来，但不知道诗的内容。
没学过汉字的外国人，会认为这是神秘的东方符号，反正完全看不懂。
中国人因为熟悉汉语，所以可以把一首诗压缩成一个短语，当听到这个短语时就能唤起这首诗所对应的意境，也就是视觉化的直观思考。就好象欧美人听到"the die is cast"，就会浮现出凯撒渡过卢比孔河的情景。
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同样，数学演算也可以出现视觉洞察力。
在普通人眼里，数学公式代表一种运算，只有算了一遍才知道怎么回事。
在数学家眼里，对数学公式和各种可能的结果极为熟悉，数学已经变成可视化的模块。
也就是说，经过大量的数学训练后，在下意识里就可以把数学元素可视化（注意，几何化只是其中一种），思考过程是直观性的，而不是逻辑性的。
以庞加莱为例
数学家达布（Darboux）宣称他是un intuitif（直觉的），论证说这可以从他经常用视觉表示来工作显示出来。他不关心严格性，且不喜欢逻辑。他相信逻辑不是发明之道，而是一个结构化想法的方法，而且逻辑限制思想。
这是直观化思维的特点，思维经常大幅度的跳跃，不被逻辑所约束。这也是他总是能融会贯通各个领域、成为通才的原因。
另一个数学家的例子是。
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印度历史上最著名的数学家之一。没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式，以及整数分拆。惯以直觉（或者是跳步）导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。
软件行业的人都知道，程序写时间长了，眼里的代码都是系统中跳动的模块，而整个软件系统则是一个复杂的生态系统。其实各行各业的专业人士都有这样的“内在的视觉洞察力”。
总之，这些内在的视觉洞察力是后天反复运用，自然形成的，只要具备正常的人类基因都可以做到。
有人可能会说：这些我明白了，是不是只要下苦功夫都可以成为那些天才？
不是滴！首先他们普遍都“拼爹”，其次他们下了功夫，但不是苦功夫。
正确的数学早期教育
如果看过很多天才的传记，你会发现他们都“拼爹、拼娘”。
也就是父母的职业背景和教育方式，对他们有极为重要的影响。父母的影响之大被很多人误以为是基因的遗传，其实不是，这是教育在起作用，是属于习惯的“遗传”。
只是绝大多数的人不知道如何正确的教育，使上一代的好习惯无法复制到下一代身上，出现了“富不过三代”的现象。
而高斯、庞加莱和陶哲轩的父母则有意、无意的进行了正确的早期数学教育。这为他们在数学界的顶尖地位奠定了坚实的习惯基础。
这个早期教育有多早呢？是不是胎教的时候就开始？
也没有那么早，最合适的时间大约在1岁到3岁之间，是在幼儿形成语言的时期同时进行。
高斯的幼年
高斯的父亲因为具有初等算术的能力，曾做过会计。3岁那年，他父亲正在给工人们发工资，小高斯突然指出“爸爸，你算错了！”，经过检查小高斯是对的，这让周围的大人目瞪口呆。
成年后的高斯说，在他学会说话之前就会计算了。这说明在高斯的幼年经常接触到各种数字，无意间让他很小的年龄就掌握了初等算术。有这样一个有数学应用背景的父亲就是拼爹，但高斯的父亲有个缺点就是目光短浅。
其实很多时候，母亲比父亲更重要，因为只有温柔善良的母亲才有足够的耐心去教育孩子。高斯曾说过“我的母亲是个非常善良的女性，我非常敬重她。”高斯有这样的母亲也是在“拼娘”。
看到这，给各位男同胞一个择偶建议，如果你希望孩子将来能成为“天才”，就千万不要找缺少耐心和爱心的女孩子，真的会毁掉你和孩子的一生，不信你试试！
庞加莱的幼年
庞加莱的父亲莱昂是生理学家兼医生、南锡医科大学教授，庞加莱的母亲非常善良、聪明、慈爱，把所有的爱心和精力都用在他身上。因为耐心的教导，庞加莱的智力发展的很快，很早就学会说话。
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童年的庞加莱因为运动不协调、经常得病，所以很多时间都用来读书，读书极快，而且据说过目不忘。有趣的是，成年后的庞加莱参加的智商测试，发现分数低的像低能儿。
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庞加莱的视力很差，主要靠听转化为想象的方式来理解，这种从小到大的训练使他具有极强的直观思维能力。他总能“看到”抽象概念所表述的“东西”，并习惯以图形即几何的方式来处理问题，以充分利用数学直观。
陶哲轩的幼年
陶哲轩的父亲陶象国和母亲梁蕙兰毕业于香港大学，陶象国是一名儿科医生，梁蕙兰是物理和数学专业高材生的，曾做过中学数学教师，这是典型的拼娘。
2岁时，他们发现陶哲轩拿着字母积木教比他大的小朋友数数，他把玩具当作学习的工具了。
在幼儿园的18个月里，母亲领他学完了小学数学的全部内容，事实上，母亲所做只是引导和刺激，而不是“教”。
作为英语国家的学前教育典范，来自美国的《芝麻街》儿童系列节目在当时大受欢迎。陶象国夫妻把《芝麻街》作为陶哲轩的启蒙教材。
就这样，陶哲轩一面看电视节目，一面自己学习，不到2岁就学会了英文字母。他很快学会拼写，能用积木拼出单词“狗”或“猫”。2 岁多时，陶哲轩对父亲办公室里的一台打字机发生兴趣，不辞辛苦地用一个手指头敲出了儿童书上一整页的内容。
陶象国夫妇认为，在很大程度上，陶哲轩是看《芝麻街》起步的。后来，陶象国在一次采访中，曾推荐大陆引进这个有益于早期儿童智力开发的趣味节目。
回顾一下这三位“天才”在早期教育的优势：
基本算术能力：高斯和陶哲轩在掌握说话之前就具备。
语言表达能力：庞加莱和陶哲轩很早学会。
识字阅读能力：庞加莱和陶哲轩很早学会，高斯则缺少资料。但也不会差，因为他在大学时还想从事人文方向。
如果你想让孩子在数学方面的能力有优势，就可以尽早培养他算术、语言和阅读的能力。
有人可能说：这没什么大不了啊！我（或我的孩子）小时候也这样，怎么没有成为天才？
因为很多人的教育方法没有随着孩子成长而调整，虽然可以在早期教育做对，但是在童年期教育却做错，最终功亏一篑。还有更多人培养方法不合理，大部分人不是在培养孩子，而是在催逼孩子，这样只能适得其反，还不如不培养，放任其自由发展。
童年期的数学习惯培养
幼儿期只是打基础，很多父母都可以做到，但是数学能力的训练只有到童年期才是最关键的，做好了就会进入能力爆炸时期，做错了就会“泯然众人矣”。
为了说明如何在不同阶段用不同的教育方法，我们以自行车的学习为例：
辅导阶段：需要父母手把手的训练，直到能稳定车身不跌倒为止，做错了要警告。
跟随阶段：孩子跟随父母骑行，学会交通规则、处理各种路况和意外，危险情况要警告。
探索阶段：让孩子自己去尝试，孩子会享受探索的乐趣，乐此不疲的到处骑行，多鼓励和认可。
提升阶段：骑行能力已经具备，多数人到此为止，如果孩子想挑战高难度，放手让他去试错。
你看，孩子通过自行车可以探索更广阔的领域，这种体验是无以伦比的。
而大部分家长往往用一种方法走到黑，把最初的警告和保守手段一直用到底。孩子很快就对骑车失去兴趣，也不愿意挑战更高难度。正是因为这样，我们大部分人的骑车能力仅能达到够用的水平。同样，我们大部分人的数学也是够用的水平，本质的原因是相同的。
不同的教育方法效果有天地之别
我们以基础数学的加法运算为例，来看看3种掌握数学的方法，请思考不同方法的持久性。
老师主导的教学法：
老师讲解10以内的加法规则。
老师要求学生背诵加法表。老师提问考察学生理解情况。老师布置大量练习，指出学生的错误和责令修改。
老师布置家庭作业让学生课下练习。
老师安排阶段性考试，进行成绩排名。
老师讲解10以上的加法规则。
师生互动的探索法：
老师引导学生通过观察演绎出加法规则。
老师引导学生提出各种问题。
学生尝试各种组合，自己寻找加法的规律，并解释原因。
学生有问题和老师一起分析讨论。
老师帮助学生设定更高的挑战目标，鼓励学生课下去研究。
学生提出自己的理论，运用加法规则去验证自己的想法。
学生遇到问题自己寻找解决方法。
老师让学生研究10以上、100以上甚至更高位数的规则。
老师让学生展示自己的研究成果。
“天才”的野蛮成长：
经常把数字进行任意的排列、组合，以此作为天马行空的娱乐方式。
每天满脑子转来转去的都是数字和比例关系的直观图像。今天母亲教了加法规则，真的很有趣，拿我的那些数字试一遍。为了验证规律，把自己已知的所有数字都尝试用加法演算一遍。每次用的数字都比上次更难，先从10以内尝试，一直尝试到100以内，发现加法规律仍然成立。
尝试将数字从1加到10进行累加，偶然发现如果将数列的首尾对称相加，计算效率会极高！尝试将已知的所有数字都用新方法累加，例如1加到100，或任意截取一串数列，发现依然成立，效率很高。好棒！自己的演算工具箱又多了一个新工具！这两天没事就用新工具演算各种等差数列，调整数列之间的公差，发现工具依然适用，更兴奋了！再尝试变换加法的运算顺序，偶然发现其逆运算——减法规律。哎哟！不错，这个diao，超级兴奋！继续演算已知的所有数字来验证减法规律，并兴奋的跑去告诉妈妈，我修改了加法顺序，发现了新运算规律！妈妈很惊讶，我还没教你减法呢？
以上情节皆属虚构，若有雷同，纯属巧合！
但我相信你能感觉到：
第3种方法最能激发出的蓬勃和持久的动力。
第2种的持久性虽然很好，但不如第3种，因为没有老师的参与，学生仍有可能打回原形。
第1种的持久性则是最差的，也是最普遍的数学教育，把大部分人的数学自信心给毁了。
现在你能明白为什么我们奥赛总拿奖，却一直没有出优秀数学家了吧！
奥赛是技能训练，并不是独立自主的探索发现过程。赛前拼命刷题，各种辅导，但当奥赛结束了，学生依旧打回原形。
而天才是永不停歇、狂飙猛进的，哪会有停下来的时候呢？！
后面我还会再分析天才的野蛮成长过程，这里稍微从数学里出来一下，看看神经科学。
早期的数学教育为什么重要？
因为这是大脑发育的关键期，在大脑发育的早期阶段，人们会损失大量的灰质细胞，只有最常用的灰质细胞会保存下来。从下面的图中，你可以看到随着年龄增加，人脑的灰质比例在逐渐减少。也就是年龄越小人脑的可塑性越强，年龄越大可塑性越弱，到20岁时主要习惯已经逐渐固化下来了。
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在关键期建立起数学习惯，就像在旷野上修建了高铁网络，成为一个人终生的思维基础设施。
错过了关键期，虽然还可以建立，但就像在人口稠密的地区修建高铁，付出的成本要多得多。人在成长过程中很难再有这么多时间和精力训练出同样的效果。
这样的高成本，也让很多人误以为自己或者自己的孩子没有数学的天赋，或者坚信别人的成功是因为基因好，而自己没有这个基因。
就连那些基础好的人也误认为自己具有某种“天赋”。只是奇怪的是，这个优势基因却遗传不给孩子。牛顿、高斯、庞加莱、爱因斯坦等大部分科学家的孩子都默默无闻，完全没有父辈的建树！即使是科学界最辉煌的和，也没有摆脱三代而亡的命运。所以从历史科学家的数据看，基因导致天赋的理论是站不住的。
为什么科学家没把自己的孩子培养成科学家？
原因很简单，就是因为科学家虽然精通科学，但对教育却也是外行，他们同样会犯所有父母都会犯的教育错误，甚至更严重！至于是哪些错误，到后面再详细分析。反而很多普通父母无意间作对了一些事情，播下了“天才”的种子，培养出划时代的大科学家。
总之，虽然具备正常的人类基因都可以训练出高效的数学思考能力，但是在不同时期培养的成本却差距极大。成年后的人虽然也可以训练出同样的能力，但是却承受不了所消耗的成本。
成年后还有希望吗?难道成人完全没有优势吗？
看到这，悲观者会说：”虽然不是基因的问题，但我还是错过了关键期，看来我是没有希望了，哭死！“
没有必要哭，等我写完了你就知道，成人也有儿童无法比拟的巨大优势，很多能力的训练成本也远低于儿童。举个最简单的例子，管理、领导、运作等能力的训练，成年人完全可以秒杀儿童。因为对人性的把握、对业务的理解、对社会的阅历都需要长时间的试错才能学会，这些儿童是不可能超越的。
再说的形象一些，还是以铁路为例：
图片来源：维基百科，
尽管在城市里修建铁路的成本远高于在旷野上修建，但在城市里有很多已经建好的铁路，只要在已有的线路网络上建立一个很短的连接，就可以打通不同的网络，拓展出全新的线路。也就是说，在城市里连接不同网络的成本，远低于在旷野上把稀疏的铁路网连接起来的成本。
所以，成人迁移知识和技能的成本很低，更擅长于跨界。
不要把基因、年龄、性别、父母、出身、专业等条件，作为自己和他人不可能成功的限制，这其实是给自己设定了思维的天花板，自己限制住了自己的自由。不要在乎悲观者的冷嘲热讽，让自己与更多的领域建立连接，勇敢的去跨界！
继续回到数学家身上。
为什么数学天才在童年期会野蛮成长，进入能力爆炸？
前面提到的“天才”野蛮成长，看上去不可思议，但其实每个人都或多或少的经历过，特别是在自己所爱好的领域。
例如玩游戏，总有一个时期仿佛自己着了魔一般，不单白天满脑子在想，连晚上睡觉做梦都在想。那些你熟悉的内容，挥之不去的在脑子里不断的自动演绎。经常会有绝妙的创意蹦出来，迫不及待的要去尝试一下。如果创意被验证，并且取得了意想不到的效果，那种欣喜若狂所带来的愉悦感完全可以超越一切，仿佛整个世界都在你的掌握之中。
对于那些天才来说，这种体验在他们的童年期每天都会上演。那些在我们看来极为枯燥和艰辛的大量运算，在他们的眼里完全是一种享受。
这样说可能很多人不信，其实当那些沉溺于游戏的孩子，没日没夜的重复操纵着屏幕上的小人、机械而疯狂的点着鼠标、眼花缭乱的按动键盘时，那些家长也不相信，这些破烂游戏到底有什么好玩的？！！！
完全不能理解那些绣十字绣的人，多枯燥啊！
那些喜欢长跑、爬山、骑行的人，都是自虐狂吗？
你说黑龙江边冬泳的那些人到底是怎么想的？
……
凡是有爱好的人，总会遇到这种诧异和不理解的眼神^_^
可能你已经感觉到我要说的是什么了。
对！我要说的就是现象，只不过这不是药物成瘾，而是一种成就成瘾。从医学上看，这种高频率反复从事行为的表现，就是一种行为强迫症。不过，你不要被强迫症这个词吓倒，这完全是良性的，不会影响健康。
当然也有一些天生大脑发育受损的人，例如一些自闭症患者，也会存在类似的行为强迫症。无法控制的重复思考或反复做一件事，持续的时间长了，就无意间成为像“”那样的白痴天才（也叫，学者们不要不高兴，世俗就是这样看你们的^_^）。
维基百科上有一个“维基百科上有一个“”的列表，各领域的神人们，什么爱因斯坦、拉马努金、特斯拉……希特勒等都赫然在列。不过我觉得，这可能是医生把天才和自闭症搞混了。
不论是成瘾，还是自闭症，他们都有个共同点，就是长达数年的、持续的、反复做一件事。这就是成为天才的核心条件，任何人都不可能逾越。
悲观者：这得多累！多苦！！多没有技术含量啊！！！
恰恰相反，对当事人来说，一点儿不累，一点儿不苦，而且天才的动力系统和普通人不一样，其动力系统的结构是最具有技术含量。
普通人在外部压力和认可下才能出成绩，他们的动力系统是从外部获取的，外部因素一旦消失，动力就会枯竭，持久性很差。
我们看看李开复老师是如何说的：
我入学时，学校安排我加入了一个“数学天才班”，那里集中了哥大所有的数学尖子，一个班只有七个人。我们在那里学习微积分特别理论，但很快，我就发现我的数学突然由“最好的”变成“最差的”了。这时我才意识到，我虽然是“全州冠军”，但是我所在的州是被称为“乡下”的田纳西州，当我与这些来自加州或纽约州的真正的“数学天才”交手时，我不但技不如人，连问问题都胆怯了，生怕我的同学们看出我这个“全州冠军”的真正水平。这么一来，我越来越落后。当我上完这门课后，我深深地体会到那些“数学天才”都是因为“数学之美”而为它痴迷，但我却并非如此。
再看看真正的数学“天才”从童年开始的成长历程。
高斯童年到成年的成长案例
有三个人对高斯童年的能力成长有巨大的影响：
他的舅舅，弗里德里希（Friedrich）
小学老师，比特纳（J.G. Büttner）
老师助理，巴特尔斯（）
高斯的舅舅弗里德里希是一个成功的纺织商人，他发现了高斯的才华，并经常用很生动的方式来启蒙小高斯。如果不是舅舅经常劝导高斯的爸爸往学术方面发展，高斯很可能会成为园丁或者泥瓦匠。高斯后来曾遗憾的说，舅舅的早逝使"我们失去了一位天才"，因为舅舅广博的思想对他的成才有非常重要的影响。
高斯的小学老师比特纳则是一个非常苛刻的老师，以虐待小孩著称，他在高斯9岁（3年级）时开始教数学，有一次他给学生出了一道题，就是那个家喻户晓的1+2+……+99+100的数列求和题。其实根据E·T·贝尔的考证，比特纳出的题目更难，是计算81297+81495+81693+…+100899这样的大数等差数列的和，数列公差为198，项数为100。尼玛，这老师也太坏了！
比特纳没想到，他刚把题目写完，高斯就已经算完，根本没写演算过程，直接就把答案写到了石板上。比特纳很震惊的发现答案是正确的！这说明高斯不仅具有极为熟练的大数心算能力，而且计算技巧已经非常娴熟，这绝不是普通孩子靠按部就班的学习能做到的。比特纳说："你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。"就从汉堡买了很多更深的数学书籍让他学习。
另一个对高斯有重大影响的是比特纳的助手巴特尔斯（），不要小看这个助手，巴特尔斯后来到喀山大学教书，是另一个大数学家的老师，后来罗巴切夫斯基和高斯的得意门生一起开创了，为爱因斯坦建立广义相对论提供了有力的数学工具，当然这是后话。
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巴特尔斯只比高斯大8岁，同样酷爱数学的他对高斯最大的影响就是经常与高斯讨论问题，这是至关重要的训练。数学讨论是一种非常有效的人才培养模式，虽然他们进行的不是后世的形式的训练，但是两人的讨论同样具有头脑风暴和学术训练的效果，高斯从此开始了真正的数学研究，而他们的友谊也保持终生。
通过长期高强度的数学计算，高斯不仅计算能力极强，而且非常善于发明数学工具，来简化自己的计算过程。刚才说到高斯9岁时就掌握了等差数列的速算方法，他在18岁时又发明了，极大简化了计算过程。后来，在54岁时也发明了最小二乘法，并早于高斯发表，获得了优先权，但这个工具高斯已经用了十几年。高斯类似的工具发明和定理发现数不胜数，很多他都没有公开发表，直到别人公开同类发现后，高斯才冒出头来说：这玩意我早就发现和使用了，因为忙于它事没有公开！
有人曾估算，如果高斯当时能及时发表他的研究成果，整个高等数学可以向前推进50年！但高斯是个完美主义者，他拒绝发布不完整和有瑕疵的作品。他的很多成果都来自内在视觉洞察力，是直觉形式的结论，虽然他自己长期使用，已被验证没有问题，但并没有经过逻辑严密的证明。而高斯跑的太快，完全不想停下来，把宝贵的时间消耗到琐碎无比的严密证明上。如果高等数学真的因此被推迟了50年，这可真是整个科学界不可估量的巨大损失！
我前面说道，数学家可以不借助纸笔来思考数学问题，这其实来源于他们高强度的数学计算，高斯是这方面的佼佼者。可能很多人会好奇，高斯的计算强度究竟有多大？我们以1818年高斯担任丹麦的测地工作为例，整个工作持续了8年，高斯白天测绘，晚上计算，他曾估计测绘所画的图就有100多万张。野外实测数据汇总后，全部计算工作由高斯负责，随便两个点都是用最小二乘法通过冗长的计算获得，一般需要一个计算能力中等的人计算2～3天才能算完，共有3000多个坐标点，总计算量需要这个人一天不休的计算10年！
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但这样高强度的计算也带来丰厚的回报，高斯在大地测量中的工作，发现和验证了曲面几何中的大量规律，写出了20多篇论文。特别是1827年高斯发表了《关于曲面的一般研究》，标志着微分几何的诞生，也为非欧几何打下了坚实的基础，而非欧几何则在100年后为广义相对论提供了数学工具的支持。
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小结一下高斯的成功经验：
高斯的成长离不开与导师、朋友的交流和讨论；
高斯惊为天人的计算能力来自于从小到大极高强度的数学计算；
高斯通过计算训练积累了大量的计算技巧，并能发明高效率的计算工具；高斯通过计算训练形成了强大的直觉思考能力，其成果如能及时发表可以推进高等数学50年；高斯成为大数学家后仍然进行极高强度的计算，并因此又开创众多的新学科。
看到这，很多人的心已经“哇凉哇凉”滴了。
悲观者：哎妈！连高斯大神都这么拼，这么下苦功，看来我的数学是彻底没戏了！
大神高斯：你丫才下苦功，你全家都下苦功！没听前面说吗？这是成瘾症状，我这是严重的计算成瘾！谁要是能靠毅力能干这样高强度的事情，谁就一SB！
呵呵，夸张一下。
其实高斯与那些连续几个通宵打游戏的宅男们没有太大区别！他们不是在下苦功，他们都是深陷在强烈的好奇心和成就感里无法自拔。
还有一个数学大神的作死故事：
1735年，28岁的欧拉发现了新的行星轨道计算方法，用了三天时间计算一个彗星的轨道，结果导致了右眼失明。高斯的评价是“如果我用那个方法计算三天，我的两只眼睛都会瞎掉！”
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见上图，大神欧拉右眼已瞎！有些励志书还把欧拉这件事写成励志故事，其实这种严重沉迷者随便跑到哪个网吧都能抓一大把！欧拉的疯狂做法属于典型的作死，彗星又不是要撞地球，什么计算不能慢慢算，非要挑战极限在三天内拼命完成？他的计算瘾和好胜心实在太重了！欧拉后来没有吸取教训，最后他的双眼果然全瞎，他的计算瘾已经到了损害身体的程度，这就是病，得治！
难怪有医生会怀疑这些天才都有自闭症和强迫症，好像也不无道理。
说到成瘾，总让我想起2010年Chinajoy上，那位美女环绕也目不斜视的淡定哥。
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用了很多的篇幅来说高斯，并不是为了突出他的计算量，而是为了说明不是基因，而是持久的动力系统才是创造天才的关键所在！高斯惊人的计算量只是这个系统自然而然的成果物。
整理一下到目前为止的思路：
幼儿阶段，在语言能力形成期，建立算数的基础设施
儿童阶段，正确的教育和训练，建立起持久的动力系统，导致数学能力大爆炸
成年阶段，依赖海量的计算训练出强大的直观思维，不需要纸笔就可以思考数学问题
专家阶段：直观思维比逻辑思维的成本更低，有助于发现多领域的相似性，开创更新、更高层次的理论
可能你已经发现了，我前面提出的问题——真的能做到不用纸笔来思考数学问题吗？——其实已经得到解决了，还顺便论证了天才的形成既不是靠天赋、也不是靠勤奋，而是靠持久的动力系统。
好了，接下来该说庞加莱了，他的案例对成人学好数学有更强的借鉴价值，因为除了穿越者，没有人能回到童年重新开始。
通才庞加莱的成长历程
前面提到“成人迁移知识和技能的成本很低，更擅长于跨界”，那如何才能实现从自己的专业领域向数学迁徙呢？
庞加莱就是很好的案例，因为他最擅长跨界，被誉为最后的通才（The Last Universalist）。
E.T.贝尔在《数学精英》中指出：
在今天起步的任何人，都不可能全面理解数学的四个主要部分——算数、代数、几何、分析——中的两个以上，更不用说做出高质量的创造性工作了，对天文学和数学物理就更谈不上了。
十九世纪八十年代，在庞加莱的伟大事业开始时，人们就普遍认为高斯是最后一个数学通才。
所以这里的通才并不是指那种涉猎广泛、样样精通的人才，而是特指一类顶尖大数学家：
他们具有极广的视野，不仅在数学内的算数、代数、几何、分析等领域开天辟地，而且在天文学、物理学、经济学等领域，都有影响极深的开创性成果。
例如目前公认的三大数学家阿基米德、牛顿、高斯，都是这样的通才大数学。
列一下他们的称号，看看他们的广博程度。为什么不列成就只列称号？因为实在太多了！
：古希腊哲学家、数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家，力学之父。
牛顿：英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士，铸币局局长。
高斯：德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，哥廷根天文台台长。
而庞加莱就是就是继高斯之后，集数学家、物理学家和天文学家于一身的最后一个通才。
先看庞加莱在天文学领域的贡献
1887年，瑞典国王悬赏了高额奖金，求解一个已经困扰了天文学、物理学界200多年的天体物理问题——。很快庞加莱就简化了三体问题，取得了突破性的进展，并在第二年就获得了奖金。这时的庞加莱只有33岁，1年前他刚刚成为法兰西科学院院士，9年后就成为科学院院长！
庞加莱还发现，即使被简化的三体系统，只要微小的扰动，就会极大的改变天体的循行，使其行为完全无法预测。这一发现导致了一个全新的科学分支————的诞生。
图片出处：图片出处：
在科幻小说《三体》中，三体人所居住的太阳系有三个太阳，这三个太阳的引力摄动使三体人星球的运行混乱而无规律，也导致三体文明多次陷入毁灭。小说的这个神奇设定就来自于三体问题的混沌现象，只是这已经不是三体问题了，而是更为复杂的四体问题了，四体人？或者叫三星系思密达人？
下图是NASA的艺术家为三星思密达系统（）绘制的艺术想象图。
图片来源：NASA JPL 图片来源：NASA JPL
图片的视角是在巨型气态行星(HD 188553 Ab)的月亮上。巨行星占满了半个天空，三颗太阳炙烤了一天，正缓缓的落下，炼狱般的一天终于结束了。岩石透着暗红就像烧红的烙铁，火山口不停的冒着烟气。太阳没落下就能看到漫天繁星，说明大气稀薄，无法保持热量，很快又是一个零下100多度的极寒之夜吧！
“欧巴！我好冷！”
“我要让全宇宙知道，这个火山口被你承包了！”一脚踹出，整容女飞出美丽的弧线，消融在岩浆里……
视频为三星日落的动画效果
看到这都累了，所以轻松一下，也让不了三体问题的人有点感性认识，下面继续回到庞加莱。
庞加莱在物理学届的地位如何？
先看一张物理爱好者都知道的巨星合影：
这是1927年的第五届这是1927年的第五届，巨星环绕、居中而坐的就是物理宗师爱因斯坦。
再来看16年前的1911年第一届索尔维会议，右边第二的爱因斯坦还是面带羞涩的青年物理学家。
而坐在爱因斯坦前面，根本不鸟摄影师，只顾着和居里夫人聊天的人，就是庞加莱大神。而坐在爱因斯坦前面，根本不鸟摄影师，只顾着和居里夫人聊天的人，就是庞加莱大神。
庞加莱在物理学界贡献之一是狭义相对论。1905年，庞加莱发表的相对论的第一篇论文比爱因斯坦的论文还要早1个月。有些数学家对爱因斯坦就不服气，认为只要有庞加莱、洛仑兹等人，相对论也可以搞出来。于是爱因斯坦又憋了9年的大招，终于在1915年独创性的提出了广义相对论，这时的他已经能够傲视那个时代所有的科学家。他忍不住牛X哄哄的说：
如果我不发现狭义相对论，5年以内肯定会有人发现它。如果我不发现广义相对论，50年内也不会有人发现它。NND，总算给物理学家出了口恶气！
不管怎样，凭着从三体问题到狭义相对论的诸多开创性成就，庞加莱的物理大师地位是当之无愧的。
可是为什么在19世纪末，大家都已经对高斯之后出现通才不报希望的时候，庞加莱却能以数学全能、跨界天文、物理的通才身份横空出世呢？
他的成长历程和思维方式有什么独到之处？
本来想写一个超长答案，慢慢的写。但最近的一个意外，让我意识到这样写非常非常的不划算。
因为超长的文章阅读体验差，不利于传播，甚至会出现被人掐头去尾的剽窃、据为己有的情况，这真让我心灰意冷。
与其让别人来“编写”我的文章，还不如自己动手把文章缩短。这篇已经够长了，接下来我会补充一些内容，分拆成多篇文章，分散到不同的问题下：
数学王子高斯是如何成为天才的？天才、天赋是来自先天还是后天？
父母如何做才能快速毁掉一个潜在的天才？天才在什么样的土壤里和环境下才可能成长？天才的大脑是功率高还是效率高？为什么庞加莱能成为通才？为什么庞加莱是最后一个通才？现代的数学教育出了什么问题？如何才能降低学习数学的思维成本？什么是思维的成本？
这些问题我会逐一整理和回答，关注我的人就能在时间线里看到这些回答了。
每完善完一个答案，我就整理到专栏《》里，便于大家逐篇阅读。
如果有什么问题我没列出，你也可以提问然后邀请我回答，也可以在评论区评论。但不建议私信，特别是很私人的求助，我不保证回答。
关于专栏《》
曾有人分析过，唯一一个靠讲科学知识拿到万赞的答案，是我在问题《》下的回答，这也是数学话题下排名第一的答案。
虽是一篇超长文章，很多人却也“痛快”的看完，还有人居然在手机上阅读，估计双眼已瞎^_^
回答下有1000多条评论，其中最多的是：如果当年老师这样教数学，我的数学就不会……
其实大家很明白，不是不喜欢数学，而是一直以来，数学的学习成本太高。
在数学话题下就有一个问题：“”
排名第一的回答赫然写着：
反正我觉得确实是行而上学，不行退学……
该回答得了3000多个赞，不知道点赞的人是不是秀智商，反正我看到后没有一丝的优越感，反而心中一沉。需要做点什么来改变这个糟糕的局面，让更多的人爱上和拥抱数学，体会到数学其实是最能让心智获得自由的学科。
而这就是《》这篇专栏的目标，发现那些最消耗成本的教育环节，打通其中的瓶颈，让更多人获得心智的自由。
参考资料
《》
《》
老版的《》或新版的《》《》
《》
