智商高低是因为思维习惯不同造成的吗?

你的直觉是对的,数学不好的确是思维习惯不好造成的,唯一不足的是误用了智商这个词,其实用“思考能力的高低”可能更好些。

在智商这个词上,经常有人会把因果颠倒
常常看到有人评价别人能力差是因为他的智商低,这完全拧巴了。

盲人摸象的寓言我们都学过,其实智商就是摸象的瞎子之一,不过摸得是“人类思考能力”这只大象。要知道人类思考的原理可远比大象的外形复杂多了,但很多人还会犯“摸到象腿就说大象像柱子”这样的错误,“智商”就是最常见的误用。

智商只是一个局部测量量,测智商就像测体温,在不同的位置测,结果是不同的。它只能反应局部的、表面的状态,尽管可以作为系统整体性能的参考,却不能说系统整体都是这样的,更不能说这就是系统效率高低的原因。

还是用体温来做类比,疾病和体温是因与果的关系,人体受到病菌入侵使免疫系统激活,促使体温上升,才使测体温时的温度偏高,所以体温高不是患病的原因,是表面症状!

同样,不同人的思维习惯有好有坏,好的思维习惯会提高正确率和反应速度,在测智商时分数会偏高,所以思维习惯好才是根本原因,智商高只是表面的结果。

总之,智商是结果、是症状,而不是思考能力高低的原因,不要颠倒因果。


为什么物理很好,但数学却不理想?
因为你还不具备好的数学思维习惯,数学比物理要抽象一些,需要进行更多的数学思维训练才能掌握。

物理比数学好学一点,是因为物理是具体的,所有的物理定律都有现实中的物理现象来对应,只要你注意观察和实验,就可以理解物理规律。很多人在思考物理问题时,借助于头脑想象和推演就可以得出结果,不需要用笔来算。

但是数学要难一些,因为对大多数人来说数学是极为抽象的,在他们眼里,数学是数、是公式、是一大堆难记的定理。在思考数学问题时,必须依赖于纸笔去演算和推理结果,数学规律也是要靠反复做题的题海战术来熟悉,无法做到凭大脑的想象就能直观的“看到”结果。

题海法的优点是简单易行,教学上人人可做,但缺点是思维效率极低,高昂的学习成本和思维成本,毁掉了无数人对数学的兴趣和自信!以至于很多人怀疑起了自己的智商。

要想提高数学的思维效率,最关键的是用正确的数学思维习惯来降低思考的成本,最终做到不借助纸笔演算就能思考数学问题!


真的能做到不用纸笔来思考数学问题吗?
其实数学家都是这样的,接下来我用三个数学大神作为案例来分析他们是如何做到的。

“数学王子”——

“最后的通才”——
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“数学的莫扎特”——


他们是如何做到不用纸笔来思考数学问题的呢?
其实也没有什么奥秘,就是因为他们的计算量远远超过我们常人,而不是因为他们先天的基因好,就像所言:“无他,但手熟尔”。

就这些?熟能生巧?你TM的在逗我!!!

当然不是这么简单了,如果只有这些,人人都可以做大神了?

好吧,先说结论,再慢慢展开分析:
他们都有正确的数学早期教育
他们都有最持久的动力系统
他们都有遍历整个领域的习惯

请牢记这三条,这些因素让他们的计算量远远超越常人,在很小的年龄就具备了内在的视觉洞察力,成为普通人难以企及的数学“天才”。


什么是内在的视觉洞察力?
以汉语为例,注意下面这三个字

静 夜 思

你脑中的第一反应是什么:
中国成年人,第一反应可能浮现出李白这首诗所描绘的可视化场景。
中国儿童,第一反应可能会马上背诵唐诗,但要问他这首诗是什么意思,他会说不知道。
学过汉字的外国人,会把这三个字念出来,但不知道诗的内容。
没学过汉字的外国人,会认为这是神秘的东方符号,反正完全看不懂。

中国人因为熟悉汉语,所以可以把一首诗压缩成一个短语,当听到这个短语时就能唤起这首诗所对应的意境,也就是视觉化的直观思考。就好象欧美人听到"the die is cast",就会浮现出凯撒渡过卢比孔河的情景。
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同样,数学演算也可以出现视觉洞察力。
在普通人眼里,数学公式代表一种运算,只有算了一遍才知道怎么回事。
在数学家眼里,对数学公式和各种可能的结果极为熟悉,数学已经变成可视化的模块。

也就是说,经过大量的数学训练后,在下意识里就可以把数学元素可视化(注意,几何化只是其中一种),思考过程是直观性的,而不是逻辑性的。

以庞加莱为例
数学家达布(Darboux)宣称他是un intuitif(直觉的),论证说这可以从他经常用视觉表示来工作显示出来。他不关心严格性,且不喜欢逻辑。他相信逻辑不是发明之道,而是一个结构化想法的方法,而且逻辑限制思想。
这是直观化思维的特点,思维经常大幅度的跳跃,不被逻辑所约束。这也是他总是能融会贯通各个领域、成为通才的原因。

另一个数学家的例子是。
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印度历史上最著名的数学家之一。没受过正规的高等数学教育,沉迷数论,尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式,以及整数分拆。惯以直觉(或者是跳步)导出公式,不喜作证明(事后往往证明他是对的)。他留下的那些没有证明的公式,引发了后来的大量研究。
软件行业的人都知道,程序写时间长了,眼里的代码都是系统中跳动的模块,而整个软件系统则是一个复杂的生态系统。其实各行各业的专业人士都有这样的“内在的视觉洞察力”。

总之,这些内在的视觉洞察力是后天反复运用,自然形成的,只要具备正常的人类基因都可以做到。

有人可能会说:这些我明白了,是不是只要下苦功夫都可以成为那些天才?

不是滴!首先他们普遍都“拼爹”,其次他们下了功夫,但不是苦功夫。


正确的数学早期教育

如果看过很多天才的传记,你会发现他们都“拼爹、拼娘”。

也就是父母的职业背景和教育方式,对他们有极为重要的影响。父母的影响之大被很多人误以为是基因的遗传,其实不是,这是教育在起作用,是属于习惯的“遗传”。

只是绝大多数的人不知道如何正确的教育,使上一代的好习惯无法复制到下一代身上,出现了“富不过三代”的现象。

而高斯、庞加莱和陶哲轩的父母则有意、无意的进行了正确的早期数学教育。这为他们在数学界的顶尖地位奠定了坚实的习惯基础。

这个早期教育有多早呢?是不是胎教的时候就开始?
也没有那么早,最合适的时间大约在1岁到3岁之间,是在幼儿形成语言的时期同时进行。


高斯的幼年
高斯的父亲因为具有初等算术的能力,曾做过会计。3岁那年,他父亲正在给工人们发工资,小高斯突然指出“爸爸,你算错了!”,经过检查小高斯是对的,这让周围的大人目瞪口呆。

成年后的高斯说,在他学会说话之前就会计算了。这说明在高斯的幼年经常接触到各种数字,无意间让他很小的年龄就掌握了初等算术。有这样一个有数学应用背景的父亲就是拼爹,但高斯的父亲有个缺点就是目光短浅。

其实很多时候,母亲比父亲更重要,因为只有温柔善良的母亲才有足够的耐心去教育孩子。高斯曾说过“我的母亲是个非常善良的女性,我非常敬重她。”高斯有这样的母亲也是在“拼娘”。

看到这,给各位男同胞一个择偶建议,如果你希望孩子将来能成为“天才”,就千万不要找缺少耐心和爱心的女孩子,真的会毁掉你和孩子的一生,不信你试试!


庞加莱的幼年
庞加莱的父亲莱昂是生理学家兼医生、南锡医科大学教授,庞加莱的母亲非常善良、聪明、慈爱,把所有的爱心和精力都用在他身上。因为耐心的教导,庞加莱的智力发展的很快,很早就学会说话。
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童年的庞加莱因为运动不协调、经常得病,所以很多时间都用来读书,读书极快,而且据说过目不忘。有趣的是,成年后的庞加莱参加的智商测试,发现分数低的像低能儿。
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庞加莱的视力很差,主要靠听转化为想象的方式来理解,这种从小到大的训练使他具有极强的直观思维能力。他总能“看到”抽象概念所表述的“东西”,并习惯以图形即几何的方式来处理问题,以充分利用数学直观。


陶哲轩的幼年
陶哲轩的父亲陶象国和母亲梁蕙兰毕业于香港大学,陶象国是一名儿科医生,梁蕙兰是物理和数学专业高材生的,曾做过中学数学教师,这是典型的拼娘。

2岁时,他们发现陶哲轩拿着字母积木教比他大的小朋友数数,他把玩具当作学习的工具了。
在幼儿园的18个月里,母亲领他学完了小学数学的全部内容,事实上,母亲所做只是引导和刺激,而不是“教”。

作为英语国家的学前教育典范,来自美国的《芝麻街》儿童系列节目在当时大受欢迎。陶象国夫妻把《芝麻街》作为陶哲轩的启蒙教材。

智商高低是因为思维习惯不同造成的吗?

就这样,陶哲轩一面看电视节目,一面自己学习,不到2岁就学会了英文字母。他很快学会拼写,能用积木拼出单词“狗”或“猫”。2 岁多时,陶哲轩对父亲办公室里的一台打字机发生兴趣,不辞辛苦地用一个手指头敲出了儿童书上一整页的内容。

陶象国夫妇认为,在很大程度上,陶哲轩是看《芝麻街》起步的。后来,陶象国在一次采访中,曾推荐大陆引进这个有益于早期儿童智力开发的趣味节目。

回顾一下这三位“天才”在早期教育的优势:
基本算术能力:高斯和陶哲轩在掌握说话之前就具备。
语言表达能力:庞加莱和陶哲轩很早学会。
识字阅读能力:庞加莱和陶哲轩很早学会,高斯则缺少资料。但也不会差,因为他在大学时还想从事人文方向。

如果你想让孩子在数学方面的能力有优势,就可以尽早培养他算术、语言和阅读的能力。

有人可能说:这没什么大不了啊!我(或我的孩子)小时候也这样,怎么没有成为天才?

因为很多人的教育方法没有随着孩子成长而调整,虽然可以在早期教育做对,但是在童年期教育却做错,最终功亏一篑。还有更多人培养方法不合理,大部分人不是在培养孩子,而是在催逼孩子,这样只能适得其反,还不如不培养,放任其自由发展。


童年期的数学习惯培养
幼儿期只是打基础,很多父母都可以做到,但是数学能力的训练只有到童年期才是最关键的,做好了就会进入能力爆炸时期,做错了就会“泯然众人矣”。

为了说明如何在不同阶段用不同的教育方法,我们以自行车的学习为例:
辅导阶段:需要父母手把手的训练,直到能稳定车身不跌倒为止,做错了要警告。
跟随阶段:孩子跟随父母骑行,学会交通规则、处理各种路况和意外,危险情况要警告。
探索阶段:让孩子自己去尝试,孩子会享受探索的乐趣,乐此不疲的到处骑行,多鼓励和认可。
提升阶段:骑行能力已经具备,多数人到此为止,如果孩子想挑战高难度,放手让他去试错。

你看,孩子通过自行车可以探索更广阔的领域,这种体验是无以伦比的。

而大部分家长往往用一种方法走到黑,把最初的警告和保守手段一直用到底。孩子很快就对骑车失去兴趣,也不愿意挑战更高难度。正是因为这样,我们大部分人的骑车能力仅能达到够用的水平。同样,我们大部分人的数学也是够用的水平,本质的原因是相同的。


不同的教育方法效果有天地之别
我们以基础数学的加法运算为例,来看看3种掌握数学的方法,请思考不同方法的持久性。

老师主导的教学法:
老师讲解10以内的加法规则。
老师要求学生背诵加法表。老师提问考察学生理解情况。老师布置大量练习,指出学生的错误和责令修改。
老师布置家庭作业让学生课下练习。
老师安排阶段性考试,进行成绩排名。
老师讲解10以上的加法规则。
师生互动的探索法:
老师引导学生通过观察演绎出加法规则。
老师引导学生提出各种问题。
学生尝试各种组合,自己寻找加法的规律,并解释原因。
学生有问题和老师一起分析讨论。
老师帮助学生设定更高的挑战目标,鼓励学生课下去研究。
学生提出自己的理论,运用加法规则去验证自己的想法。
学生遇到问题自己寻找解决方法。
老师让学生研究10以上、100以上甚至更高位数的规则。
老师让学生展示自己的研究成果。
“天才”的野蛮成长:
经常把数字进行任意的排列、组合,以此作为天马行空的娱乐方式。
每天满脑子转来转去的都是数字和比例关系的直观图像。今天母亲教了加法规则,真的很有趣,拿我的那些数字试一遍。为了验证规律,把自己已知的所有数字都尝试用加法演算一遍。每次用的数字都比上次更难,先从10以内尝试,一直尝试到100以内,发现加法规律仍然成立。
尝试将数字从1加到10进行累加,偶然发现如果将数列的首尾对称相加,计算效率会极高!尝试将已知的所有数字都用新方法累加,例如1加到100,或任意截取一串数列,发现依然成立,效率很高。好棒!自己的演算工具箱又多了一个新工具!这两天没事就用新工具演算各种等差数列,调整数列之间的公差,发现工具依然适用,更兴奋了!再尝试变换加法的运算顺序,偶然发现其逆运算——减法规律。哎哟!不错,这个diao,超级兴奋!继续演算已知的所有数字来验证减法规律,并兴奋的跑去告诉妈妈,我修改了加法顺序,发现了新运算规律!妈妈很惊讶,我还没教你减法呢?
以上情节皆属虚构,若有雷同,纯属巧合!


但我相信你能感觉到:
第3种方法最能激发出的蓬勃和持久的动力。
第2种的持久性虽然很好,但不如第3种,因为没有老师的参与,学生仍有可能打回原形。
第1种的持久性则是最差的,也是最普遍的数学教育,把大部分人的数学自信心给毁了。

现在你能明白为什么我们奥赛总拿奖,却一直没有出优秀数学家了吧!
奥赛是技能训练,并不是独立自主的探索发现过程。赛前拼命刷题,各种辅导,但当奥赛结束了,学生依旧打回原形。
而天才是永不停歇、狂飙猛进的,哪会有停下来的时候呢?!


后面我还会再分析天才的野蛮成长过程,这里稍微从数学里出来一下,看看神经科学。


早期的数学教育为什么重要?
因为这是大脑发育的关键期,在大脑发育的早期阶段,人们会损失大量的灰质细胞,只有最常用的灰质细胞会保存下来。从下面的图中,你可以看到随着年龄增加,人脑的灰质比例在逐渐减少。也就是年龄越小人脑的可塑性越强,年龄越大可塑性越弱,到20岁时主要习惯已经逐渐固化下来了。
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在关键期建立起数学习惯,就像在旷野上修建了高铁网络,成为一个人终生的思维基础设施。

错过了关键期,虽然还可以建立,但就像在人口稠密的地区修建高铁,付出的成本要多得多。人在成长过程中很难再有这么多时间和精力训练出同样的效果。

这样的高成本,也让很多人误以为自己或者自己的孩子没有数学的天赋,或者坚信别人的成功是因为基因好,而自己没有这个基因。

就连那些基础好的人也误认为自己具有某种“天赋”。只是奇怪的是,这个优势基因却遗传不给孩子。牛顿、高斯、庞加莱、爱因斯坦等大部分科学家的孩子都默默无闻,完全没有父辈的建树!即使是科学界最辉煌的和,也没有摆脱三代而亡的命运。所以从历史科学家的数据看,基因导致天赋的理论是站不住的。

为什么科学家没把自己的孩子培养成科学家?
原因很简单,就是因为科学家虽然精通科学,但对教育却也是外行,他们同样会犯所有父母都会犯的教育错误,甚至更严重!至于是哪些错误,到后面再详细分析。反而很多普通父母无意间作对了一些事情,播下了“天才”的种子,培养出划时代的大科学家。

总之,虽然具备正常的人类基因都可以训练出高效的数学思考能力,但是在不同时期培养的成本却差距极大。成年后的人虽然也可以训练出同样的能力,但是却承受不了所消耗的成本。


成年后还有希望吗?难道成人完全没有优势吗?
看到这,悲观者会说:”虽然不是基因的问题,但我还是错过了关键期,看来我是没有希望了,哭死!“

没有必要哭,等我写完了你就知道,成人也有儿童无法比拟的巨大优势,很多能力的训练成本也远低于儿童。举个最简单的例子,管理、领导、运作等能力的训练,成年人完全可以秒杀儿童。因为对人性的把握、对业务的理解、对社会的阅历都需要长时间的试错才能学会,这些儿童是不可能超越的。

再说的形象一些,还是以铁路为例:

图片来源:维基百科,

尽管在城市里修建铁路的成本远高于在旷野上修建,但在城市里有很多已经建好的铁路,只要在已有的线路网络上建立一个很短的连接,就可以打通不同的网络,拓展出全新的线路。也就是说,在城市里连接不同网络的成本,远低于在旷野上把稀疏的铁路网连接起来的成本。


所以,成人迁移知识和技能的成本很低,更擅长于跨界。

不要把基因、年龄、性别、父母、出身、专业等条件,作为自己和他人不可能成功的限制,这其实是给自己设定了思维的天花板,自己限制住了自己的自由。不要在乎悲观者的冷嘲热讽,让自己与更多的领域建立连接,勇敢的去跨界!

继续回到数学家身上。


为什么数学天才在童年期会野蛮成长,进入能力爆炸?
前面提到的“天才”野蛮成长,看上去不可思议,但其实每个人都或多或少的经历过,特别是在自己所爱好的领域。

例如玩游戏,总有一个时期仿佛自己着了魔一般,不单白天满脑子在想,连晚上睡觉做梦都在想。那些你熟悉的内容,挥之不去的在脑子里不断的自动演绎。经常会有绝妙的创意蹦出来,迫不及待的要去尝试一下。如果创意被验证,并且取得了意想不到的效果,那种欣喜若狂所带来的愉悦感完全可以超越一切,仿佛整个世界都在你的掌握之中。

对于那些天才来说,这种体验在他们的童年期每天都会上演。那些在我们看来极为枯燥和艰辛的大量运算,在他们的眼里完全是一种享受。

这样说可能很多人不信,其实当那些沉溺于游戏的孩子,没日没夜的重复操纵着屏幕上的小人、机械而疯狂的点着鼠标、眼花缭乱的按动键盘时,那些家长也不相信,这些破烂游戏到底有什么好玩的?!!!
完全不能理解那些绣十字绣的人,多枯燥啊!
那些喜欢长跑、爬山、骑行的人,都是自虐狂吗?
你说黑龙江边冬泳的那些人到底是怎么想的?
……
凡是有爱好的人,总会遇到这种诧异和不理解的眼神^_^


可能你已经感觉到我要说的是什么了。

对!我要说的就是现象,只不过这不是药物成瘾,而是一种成就成瘾。从医学上看,这种高频率反复从事行为的表现,就是一种行为强迫症。不过,你不要被强迫症这个词吓倒,这完全是良性的,不会影响健康。

当然也有一些天生大脑发育受损的人,例如一些自闭症患者,也会存在类似的行为强迫症。无法控制的重复思考或反复做一件事,持续的时间长了,就无意间成为像“”那样的白痴天才(也叫,学者们不要不高兴,世俗就是这样看你们的^_^)。
维基百科上有一个“维基百科上有一个“”的列表,各领域的神人们,什么爱因斯坦、拉马努金、特斯拉……希特勒等都赫然在列。不过我觉得,这可能是医生把天才和自闭症搞混了。

不论是成瘾,还是自闭症,他们都有个共同点,就是长达数年的、持续的、反复做一件事。这就是成为天才的核心条件,任何人都不可能逾越。

悲观者:这得多累!多苦!!多没有技术含量啊!!!

恰恰相反,对当事人来说,一点儿不累,一点儿不苦,而且天才的动力系统和普通人不一样,其动力系统的结构是最具有技术含量。

普通人在外部压力和认可下才能出成绩,他们的动力系统是从外部获取的,外部因素一旦消失,动力就会枯竭,持久性很差。

我们看看李开复老师是如何说的:
我入学时,学校安排我加入了一个“数学天才班”,那里集中了哥大所有的数学尖子,一个班只有七个人。我们在那里学习微积分特别理论,但很快,我就发现我的数学突然由“最好的”变成“最差的”了。这时我才意识到,我虽然是“全州冠军”,但是我所在的州是被称为“乡下”的田纳西州,当我与这些来自加州或纽约州的真正的“数学天才”交手时,我不但技不如人,连问问题都胆怯了,生怕我的同学们看出我这个“全州冠军”的真正水平。这么一来,我越来越落后。当我上完这门课后,我深深地体会到那些“数学天才”都是因为“数学之美”而为它痴迷,但我却并非如此。
再看看真正的数学“天才”从童年开始的成长历程。



高斯童年到成年的成长案例
有三个人对高斯童年的能力成长有巨大的影响:
他的舅舅,弗里德里希(Friedrich)
小学老师,比特纳(J.G. Büttner)
老师助理,巴特尔斯()

高斯的舅舅弗里德里希是一个成功的纺织商人,他发现了高斯的才华,并经常用很生动的方式来启蒙小高斯。如果不是舅舅经常劝导高斯的爸爸往学术方面发展,高斯很可能会成为园丁或者泥瓦匠。高斯后来曾遗憾的说,舅舅的早逝使"我们失去了一位天才",因为舅舅广博的思想对他的成才有非常重要的影响。

高斯的小学老师比特纳则是一个非常苛刻的老师,以虐待小孩著称,他在高斯9岁(3年级)时开始教数学,有一次他给学生出了一道题,就是那个家喻户晓的1+2+……+99+100的数列求和题。其实根据E·T·贝尔的考证,比特纳出的题目更难,是计算81297+81495+81693+…+100899这样的大数等差数列的和,数列公差为198,项数为100。尼玛,这老师也太坏了!

比特纳没想到,他刚把题目写完,高斯就已经算完,根本没写演算过程,直接就把答案写到了石板上。比特纳很震惊的发现答案是正确的!这说明高斯不仅具有极为熟练的大数心算能力,而且计算技巧已经非常娴熟,这绝不是普通孩子靠按部就班的学习能做到的。比特纳说:"你已经超过了我,我没有什么东西可以教你了。"就从汉堡买了很多更深的数学书籍让他学习。

另一个对高斯有重大影响的是比特纳的助手巴特尔斯(),不要小看这个助手,巴特尔斯后来到喀山大学教书,是另一个大数学家的老师,后来罗巴切夫斯基和高斯的得意门生一起开创了,为爱因斯坦建立广义相对论提供了有力的数学工具,当然这是后话。
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巴特尔斯只比高斯大8岁,同样酷爱数学的他对高斯最大的影响就是经常与高斯讨论问题,这是至关重要的训练。数学讨论是一种非常有效的人才培养模式,虽然他们进行的不是后世的形式的训练,但是两人的讨论同样具有头脑风暴和学术训练的效果,高斯从此开始了真正的数学研究,而他们的友谊也保持终生。

通过长期高强度的数学计算,高斯不仅计算能力极强,而且非常善于发明数学工具,来简化自己的计算过程。刚才说到高斯9岁时就掌握了等差数列的速算方法,他在18岁时又发明了,极大简化了计算过程。后来,在54岁时也发明了最小二乘法,并早于高斯发表,获得了优先权,但这个工具高斯已经用了十几年。高斯类似的工具发明和定理发现数不胜数,很多他都没有公开发表,直到别人公开同类发现后,高斯才冒出头来说:这玩意我早就发现和使用了,因为忙于它事没有公开!

有人曾估算,如果高斯当时能及时发表他的研究成果,整个高等数学可以向前推进50年!但高斯是个完美主义者,他拒绝发布不完整和有瑕疵的作品。他的很多成果都来自内在视觉洞察力,是直觉形式的结论,虽然他自己长期使用,已被验证没有问题,但并没有经过逻辑严密的证明。而高斯跑的太快,完全不想停下来,把宝贵的时间消耗到琐碎无比的严密证明上。如果高等数学真的因此被推迟了50年,这可真是整个科学界不可估量的巨大损失!

我前面说道,数学家可以不借助纸笔来思考数学问题,这其实来源于他们高强度的数学计算,高斯是这方面的佼佼者。可能很多人会好奇,高斯的计算强度究竟有多大?我们以1818年高斯担任丹麦的测地工作为例,整个工作持续了8年,高斯白天测绘,晚上计算,他曾估计测绘所画的图就有100多万张。野外实测数据汇总后,全部计算工作由高斯负责,随便两个点都是用最小二乘法通过冗长的计算获得,一般需要一个计算能力中等的人计算2~3天才能算完,共有3000多个坐标点,总计算量需要这个人一天不休的计算10年!
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但这样高强度的计算也带来丰厚的回报,高斯在大地测量中的工作,发现和验证了曲面几何中的大量规律,写出了20多篇论文。特别是1827年高斯发表了《关于曲面的一般研究》,标志着微分几何的诞生,也为非欧几何打下了坚实的基础,而非欧几何则在100年后为广义相对论提供了数学工具的支持。
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小结一下高斯的成功经验:
高斯的成长离不开与导师、朋友的交流和讨论;
高斯惊为天人的计算能力来自于从小到大极高强度的数学计算;
高斯通过计算训练积累了大量的计算技巧,并能发明高效率的计算工具;高斯通过计算训练形成了强大的直觉思考能力,其成果如能及时发表可以推进高等数学50年;高斯成为大数学家后仍然进行极高强度的计算,并因此又开创众多的新学科。
看到这,很多人的心已经“哇凉哇凉”滴了。
悲观者:哎妈!连高斯大神都这么拼,这么下苦功,看来我的数学是彻底没戏了!
大神高斯:你丫才下苦功,你全家都下苦功!没听前面说吗?这是成瘾症状,我这是严重的计算成瘾!谁要是能靠毅力能干这样高强度的事情,谁就一SB!

呵呵,夸张一下。

其实高斯与那些连续几个通宵打游戏的宅男们没有太大区别!他们不是在下苦功,他们都是深陷在强烈的好奇心和成就感里无法自拔。

还有一个数学大神的作死故事:
1735年,28岁的欧拉发现了新的行星轨道计算方法,用了三天时间计算一个彗星的轨道,结果导致了右眼失明。高斯的评价是“如果我用那个方法计算三天,我的两只眼睛都会瞎掉!”
图片来源:维基百科图片来源:维基百科

见上图,大神欧拉右眼已瞎!有些励志书还把欧拉这件事写成励志故事,其实这种严重沉迷者随便跑到哪个网吧都能抓一大把!欧拉的疯狂做法属于典型的作死,彗星又不是要撞地球,什么计算不能慢慢算,非要挑战极限在三天内拼命完成?他的计算瘾和好胜心实在太重了!欧拉后来没有吸取教训,最后他的双眼果然全瞎,他的计算瘾已经到了损害身体的程度,这就是病,得治!

难怪有医生会怀疑这些天才都有自闭症和强迫症,好像也不无道理。

说到成瘾,总让我想起2010年Chinajoy上,那位美女环绕也目不斜视的淡定哥。
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用了很多的篇幅来说高斯,并不是为了突出他的计算量,而是为了说明不是基因,而是持久的动力系统才是创造天才的关键所在!高斯惊人的计算量只是这个系统自然而然的成果物。

整理一下到目前为止的思路:
幼儿阶段,在语言能力形成期,建立算数的基础设施
儿童阶段,正确的教育和训练,建立起持久的动力系统,导致数学能力大爆炸
成年阶段,依赖海量的计算训练出强大的直观思维,不需要纸笔就可以思考数学问题
专家阶段:直观思维比逻辑思维的成本更低,有助于发现多领域的相似性,开创更新、更高层次的理论

可能你已经发现了,我前面提出的问题——真的能做到不用纸笔来思考数学问题吗?——其实已经得到解决了,还顺便论证了天才的形成既不是靠天赋、也不是靠勤奋,而是靠持久的动力系统。

好了,接下来该说庞加莱了,他的案例对成人学好数学有更强的借鉴价值,因为除了穿越者,没有人能回到童年重新开始。



通才庞加莱的成长历程
前面提到“成人迁移知识和技能的成本很低,更擅长于跨界”,那如何才能实现从自己的专业领域向数学迁徙呢?

庞加莱就是很好的案例,因为他最擅长跨界,被誉为最后的通才(The Last Universalist)。

E.T.贝尔在《数学精英》中指出:
在今天起步的任何人,都不可能全面理解数学的四个主要部分——算数、代数、几何、分析——中的两个以上,更不用说做出高质量的创造性工作了,对天文学和数学物理就更谈不上了。
十九世纪八十年代,在庞加莱的伟大事业开始时,人们就普遍认为高斯是最后一个数学通才。
所以这里的通才并不是指那种涉猎广泛、样样精通的人才,而是特指一类顶尖大数学家:
他们具有极广的视野,不仅在数学内的算数、代数、几何、分析等领域开天辟地,而且在天文学、物理学、经济学等领域,都有影响极深的开创性成果。

例如目前公认的三大数学家阿基米德、牛顿、高斯,都是这样的通才大数学。
列一下他们的称号,看看他们的广博程度。为什么不列成就只列称号?因为实在太多了!
:古希腊哲学家、数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家,力学之父。
牛顿:英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士,铸币局局长。
高斯:德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,哥廷根天文台台长。

而庞加莱就是就是继高斯之后,集数学家、物理学家和天文学家于一身的最后一个通才。

先看庞加莱在天文学领域的贡献
1887年,瑞典国王悬赏了高额奖金,求解一个已经困扰了天文学、物理学界200多年的天体物理问题——。很快庞加莱就简化了三体问题,取得了突破性的进展,并在第二年就获得了奖金。这时的庞加莱只有33岁,1年前他刚刚成为法兰西科学院院士,9年后就成为科学院院长!

庞加莱还发现,即使被简化的三体系统,只要微小的扰动,就会极大的改变天体的循行,使其行为完全无法预测。这一发现导致了一个全新的科学分支————的诞生。
图片出处:图片出处:

在科幻小说《三体》中,三体人所居住的太阳系有三个太阳,这三个太阳的引力摄动使三体人星球的运行混乱而无规律,也导致三体文明多次陷入毁灭。小说的这个神奇设定就来自于三体问题的混沌现象,只是这已经不是三体问题了,而是更为复杂的四体问题了,四体人?或者叫三星系思密达人?

下图是NASA的艺术家为三星思密达系统()绘制的艺术想象图。
图片来源:NASA JPL 图片来源:NASA JPL

图片的视角是在巨型气态行星(HD 188553 Ab)的月亮上。巨行星占满了半个天空,三颗太阳炙烤了一天,正缓缓的落下,炼狱般的一天终于结束了。岩石透着暗红就像烧红的烙铁,火山口不停的冒着烟气。太阳没落下就能看到漫天繁星,说明大气稀薄,无法保持热量,很快又是一个零下100多度的极寒之夜吧!
“欧巴!我好冷!”
“我要让全宇宙知道,这个火山口被你承包了!”一脚踹出,整容女飞出美丽的弧线,消融在岩浆里……

视频为三星日落的动画效果

看到这都累了,所以轻松一下,也让不了三体问题的人有点感性认识,下面继续回到庞加莱。


庞加莱在物理学届的地位如何?
先看一张物理爱好者都知道的巨星合影:
这是1927年的第五届这是1927年的第五届,巨星环绕、居中而坐的就是物理宗师爱因斯坦。

再来看16年前的1911年第一届索尔维会议,右边第二的爱因斯坦还是面带羞涩的青年物理学家。
而坐在爱因斯坦前面,根本不鸟摄影师,只顾着和居里夫人聊天的人,就是庞加莱大神。而坐在爱因斯坦前面,根本不鸟摄影师,只顾着和居里夫人聊天的人,就是庞加莱大神。

庞加莱在物理学界贡献之一是狭义相对论。1905年,庞加莱发表的相对论的第一篇论文比爱因斯坦的论文还要早1个月。有些数学家对爱因斯坦就不服气,认为只要有庞加莱、洛仑兹等人,相对论也可以搞出来。于是爱因斯坦又憋了9年的大招,终于在1915年独创性的提出了广义相对论,这时的他已经能够傲视那个时代所有的科学家。他忍不住牛X哄哄的说:
如果我不发现狭义相对论,5年以内肯定会有人发现它。如果我不发现广义相对论,50年内也不会有人发现它。NND,总算给物理学家出了口恶气!

不管怎样,凭着从三体问题到狭义相对论的诸多开创性成就,庞加莱的物理大师地位是当之无愧的。

可是为什么在19世纪末,大家都已经对高斯之后出现通才不报希望的时候,庞加莱却能以数学全能、跨界天文、物理的通才身份横空出世呢?
他的成长历程和思维方式有什么独到之处?


本来想写一个超长答案,慢慢的写。但最近的一个意外,让我意识到这样写非常非常的不划算。

因为超长的文章阅读体验差,不利于传播,甚至会出现被人掐头去尾的剽窃、据为己有的情况,这真让我心灰意冷。

与其让别人来“编写”我的文章,还不如自己动手把文章缩短。这篇已经够长了,接下来我会补充一些内容,分拆成多篇文章,分散到不同的问题下:
数学王子高斯是如何成为天才的?天才、天赋是来自先天还是后天?
父母如何做才能快速毁掉一个潜在的天才?天才在什么样的土壤里和环境下才可能成长?天才的大脑是功率高还是效率高?为什么庞加莱能成为通才?为什么庞加莱是最后一个通才?现代的数学教育出了什么问题?如何才能降低学习数学的思维成本?什么是思维的成本?
这些问题我会逐一整理和回答,关注我的人就能在时间线里看到这些回答了。
每完善完一个答案,我就整理到专栏《》里,便于大家逐篇阅读。

如果有什么问题我没列出,你也可以提问然后邀请我回答,也可以在评论区评论。但不建议私信,特别是很私人的求助,我不保证回答。


关于专栏《》
曾有人分析过,唯一一个靠讲科学知识拿到万赞的答案,是我在问题《》下的回答,这也是数学话题下排名第一的答案。

虽是一篇超长文章,很多人却也“痛快”的看完,还有人居然在手机上阅读,估计双眼已瞎^_^
回答下有1000多条评论,其中最多的是:如果当年老师这样教数学,我的数学就不会……
其实大家很明白,不是不喜欢数学,而是一直以来,数学的学习成本太高。

在数学话题下就有一个问题:“”
排名第一的回答赫然写着:
反正我觉得确实是行而上学,不行退学……
该回答得了3000多个赞,不知道点赞的人是不是秀智商,反正我看到后没有一丝的优越感,反而心中一沉。需要做点什么来改变这个糟糕的局面,让更多的人爱上和拥抱数学,体会到数学其实是最能让心智获得自由的学科。

而这就是《》这篇专栏的目标,发现那些最消耗成本的教育环节,打通其中的瓶颈,让更多人获得心智的自由。




参考资料
《》
《》
老版的《》或新版的《》《》
《》
  

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