爱华网“看清全球经济格局的风云幻变”这个很难，需要很高的、各方面的综合能力单靠数学水平做不到。要做到这一点，信息、人脉都是必不可少的！“看懂较前沿的学术文章”，这个比较简单，数学要求如下（有些经济学教育落后的同学不相信经济学数学要求这么高，我特地附了一张北大工作论文，请自行查阅，可以看到，已经到了非线性泛函分析这个层次的数学。如果在美国读博，数学要求也要这个层次。）：武康平教授曾在他的课堂上讲过，数理经济学或称现代经济分析所涉及的数学工具几乎涵盖了现代数学的所有领域，甚至许多新的数学课题，比如集值映射理论等就是直接由数理经济学推动的。在文章最后我还会谈一下：：1.在经济学研究过程中，即在《高级微观经济学》和《高级宏观经济学》的学习和研究中直接出现的数学工具。2.在我的实务工作中，特别是在风险管理实务和投资组合实务中，最常用的数学工具以及最常用的其他知识。这个算是最终版答案了，更正了一些错误，补充了一些内容。
【入门】
1.初等微积分，2.线性代数，3.概率论与数理统计：全部、扎实掌握，不要信国内的什么经济数学！比如，许多本科经济数学的概率统计并不涉及的条件期望和条件方差、矩母函数等知识，在研究生的金融数学中都是非常重要的，在学习随机过程的时候，这些知识点也会进行简要回顾，但往往学生理解不到位。所以这些基本的东西要学全，学扎实！。4.运筹学，掌握。这一阶段力求熟练掌握微积分的运算！这一阶段力荐的书籍：蒋中一《数理经济学的基本方法》（商务印书馆）、迪克希特《经济理论中的最优化方法》学习金融的可以看《金融数量方法》，这本书是最基础、内容也十分广泛的金融数学科普读物。
【进阶】一般的经济学硕士生们至少掌握2、3、7、10、12就可以平稳度过高级微观、高级宏观经济学了！进阶阶段的学习建议：事实上，许多正规的硕士级别的（国内）一学期数理经济学课程，就已经包含了2、3、7的最重要的内容以及10的部分内容，12是经济学硕士必学不罗嗦。所以其实内容远没有看上去那么多！金融数学的同学如果还需要复变函数和矩阵论，建议这两门自学效率更高（前提是你入门数学已扎实掌握了），而实变函数与泛函分析导论、点集拓扑学、偏微分方程建议旁听，不攻数理经济学的人基本可以无视这些科目。总之就一点：同学看到这么多数学课不要害怕！还有，我们经济系的人研究数学也不要像数学系的人研究数学一样，在学习数学的时候我们可以适当放宽严谨性，理解万岁，“差不多就行了”！
1.高等微积分（加深一下对数学分析的理解，新增的内容并不多）推荐：马里兰大学《高等微积分》特别提醒：建议好好研究一下隐函数定理（比较静态分析基本定理）！
2.*数学规划*中的非线性规划（分离超平面定理与拟凹规划与Kuhn-Tucker定理！拉格朗日对偶原理等等）非线性规划是研究理论经济学最重要的数学工具。力荐：蒋中一《数理经济学的基本方法》、迪克希特《经济理论中的最优化方法》、高山晟《经济学中的分析方法》等等。
3.*常微分方程*（解法、线性系统理论、非线性系统理论只需关注相图、线性化方法：也就是所谓的Hartman-Grobman定理、李雅普诺夫函数）推荐：罗宾逊《动力系统导论》前六章。弗恩特《经济数学方法与模型》有人提醒我（大都是reputable university的数学专业的人而非经济学专业的），是否有必要再加上诸如中心流形定理、庞加莱奇点指标这样的高深理论。的确，这一部分理论在数理经济学中有大用处，但大部分经济学学生并不以数理经济学为主攻方向，我认为经济学大部分实际问题应该用不着上述高深定理出山。
4.泛函分析导论。这里严格地讲是拓扑线性空间导论，并未真正涉及泛函的“分析“-卢卡斯（学经济的不会不知道吧？）在《经济动态的递归方法》中写道：价格体系本身就是商品空间上的一个线性泛函。（理解BanachHilbert空间、理解紧集的概念和判断方法、掌握压缩映射原理、Hahn-Banach定理与分离超平面定理（凸集分离定理）的关系（福利经济学第二定理！）、理解基于线性流形的投影定理和希尔伯特空间的Fourier展开）力荐：萨金特《递归宏观经济理论》，王日爽《泛函分析与最优化理论》
5.矩阵论（线性空间、Jordan标准型、哈密尔顿-凯莱定理和矩阵指数、矩阵谱半径的估计是线性常系数差分方程组系统稳定性判别的极为简便的工具，矩阵微积分）
6.实变函数论（难！只需了解测度的概念、Lebesgue可积的概念，掌握控制收敛定理即可）实变函数跟高等概率论或金融数学几乎可以一一对应地学习。比如，勒贝格积分就是数学期望，可测集就是事件，等等。Rudin《数学分析原理》
7.*动态最优化*（变分法，动态规划，最优控制，DSGE的话要了解随机最优控制）力荐：蒋中一：《动态最优化基础》，弗恩特《经济数学方法与模型》；另外，我还想提一句，最优控制在宏观经济学中是如此重要的存在，它的创造者却是一位盲人数学家：庞特里亚金——微分方程和控制论大师。向他致敬！
8.复变函数与积分变换（掌握欧拉公式、理解解析函数，掌握柯西留数定理，掌握积分变换，这货很强力，简单的常微分方程，积分方程，偏微分方程就靠它了，还有随机过程（金融数学）中也有大量运用）
9.一般拓扑学（难！不过只需了解拓扑空间的同胚概念、紧集的性质、连通集的性质、了解housdorff空间的性质，集值映射（对应）的上半连续性和下半连续性即可！少数要求较高的基础拓扑学书籍也会涉及到同伦与基本群，稍微了解就好，因为这部分属于较为高深的代数拓扑学，是可选项）力荐：Colin Adams，Robert Franzosa《拓扑学基础及应用》；阿姆斯特朗《基础拓扑学》
10.*随机过程*（很多实用的部分学过概率统计就可以开始学了：最常用的泊松过程、布朗运动、鞅等随机过程的基本概念、随机微积分（金融数学）中的Ito引理非常重要，要会运用。随机微积分，不管你做金融学、金融工程还是高级宏观经济学研究消费、投资等高级专题，伊藤公式如果不会我真不知道如何入门这些领域。还有时间序列分析*也非常重要！）其实，随机微积分并不是很难。如果你没学过上述实变函数，只是单纯用一下的话，只要把握好两点：1.布朗运动的微元,其中，W(t)是布朗运动。2.微积分中的Taylor公式该怎么写怎么写，省略dt的高阶项，只保留dt的同阶项。然后你就发现，你已经会随机微分法则了。这丝毫不妨碍你使用它来研究宏观经济学。那么做金融工程的话，对随机微积分的要求会更多一些，比如测度变换之类也应该了解。力荐：Gregory .F. Lawler《随机过程导论》已经包含了上述全部内容。
11.偏微分方程（一阶线性、拟线性偏微分方程解法，二阶线性偏微分理解分离变量法、积分变换法即可！）偏微分方程在金融学中的最主要应用恐怕就是期权定价了吧，如布莱克-斯科尔斯偏微分方程。所以这一块更应该关注偏微分方程的数值方法。
12.*高级计量经济学*（把这个归为数学真的好吗？）我当年硕士时候随便拿了本厦门大学《高级计量经济学导论》，学习时最好亲手动笔算！这劳什子学好线性代数，矩阵论和概率统计简单得很，许多人觉得难，无法理解，是由于他们只想看懂，不想动笔算，对就是懒。说实话计量经济学需要掌握的内容其实并不多，比如：多元线性回归只要搞透一个Gauss-Markov定理就可以了，什么异方差多重共线性全是从属地位。ARIMA和VAR模型，你弄懂差分方程了还不会？那么，差分方程很难吗？对于经济学硕士生而言，完成2、3、7、10、12就可以完爆Varian的高微和Romer的高宏；在此基础上加个4、9的话，看杰里、瑞尼的高微和萨金特的高宏（递归宏观经济学）没有问题的！我个人高微就学了瓦里安的和杰里、瑞尼的，马斯克莱尔的没系统地读过（我研究方向是宏观）。其实书不用读太多，弄透一本就够了！！
【高阶】下面两个算是高深级别的数学了，姑且称为双子BOSS吧。献给那些致力于数理经济学的博士生们：
1.非线性泛函分析（Final BOSS，真正的泛函分析！是进阶阶段泛函分析导论的深化。较为高深的数学，前置基础为：掌握高等代数、复变函数、高等微积分、实变函数与泛函分析引论、一般拓扑学（最好再去了解代数拓扑的同伦方法，不了解也没关系）。从经济学角度，需要掌握Banach空间的微分学，重点在可微泛函：Gateaux微分和Frechet微分，这样可以把几乎所有最优控制问题（离散、连续、随机）全部统一在拉格朗日泛函的框架下处理，极度方便！原来求解动态优化问题的变分法、Pontryagin最大值原理和动态规划（HJB）方程三位一体归于大统，那就是拉格朗日泛函。非线性泛函分析有两大块最重要的内容，一个就是上面提到的Banach空间微分学，另一个就是拓扑度理论。当然了，拓扑度理论是依据拓扑学开发出的强力武器，自然也可以在下面介绍的微分拓扑中找到其依据。其中，Brouwer度理论可以轻松地讨论一般均衡的唯一性问题，要知道这可是马斯克莱尔微观圣经中最高深的课题之一了。此外，强大的拓扑度可以导出大量不动点定理，这些不动点定理的海量经济应用，参考卢卡斯《经济动态的递归方法》。一般地，经济学中许多的不动点问题，我们总是先派小兵上！就是先尝试Brouwer不动点定理、Lery-Schaulder不动点定理等具体的不动点定理。当这些定理都失效时，拓扑度作为他们的“母亲”，是我们解决此类问题的“最终手段”。没错，就是大招！非线性泛函分析，较多运用在金融工程和宏观经济学DSGE模型上。下面要提到的微分拓扑，主要运用在福利经济学和经济系统一般均衡模型上。非线性泛函分析的最初等应用，可见北大讲稿，请戳： 力荐：柯尔莫哥洛夫《函数论与泛函分析初步》最后一章；张鸿庆《泛函分析》写得很赞！有的同学想要更多地了解泛函分析和一般拓扑在高级数理经济学、现代宏观经济学，特别是随机动态优化、动态随机一般均衡的应用，在此再推荐两本：1.《经济数学引论》（格致出版社），注意，不要被“引论”二字欺骗了。2.卢卡斯：《经济动态的递归方法》。高级数理经济学的圣经。对泛函分析在优化控制中的全面应用，请看我的另一篇帖子
2.微分拓扑学（EXTRA BOSS。相当高深的数学，可选项。对于这个学科，范里安在他的微观经济分析中多次提到。它有什么用？最直接的用处就是讨论高维非线性微分方程的定性理论，用拓扑语言说，叫做：流形动力系统（后文会有简单的经济学例子解释）。但是说实话，完全体的微分拓扑需要学过泛函分析、代数拓扑（同调论）、微分几何、张量分析与场论的理论才能有比较好的理解，so格调太高，但是威力极大。但是初等微分拓扑学可以不要代数拓扑的基础，但一定要高等微积分、线性代数和微分方程定性理论、实变函数的基础，不能再少了！对Eco博士生来讲可以接受）那么从纯粹数学的角度来说，非线性泛函分析与微分拓扑学大有融合的趋势，所以说，高阶阶段的两门数学，从本质上来说是一门。闲话不多说，分享一下自己的微分拓扑学习路径。我读博时的学习路径是这样的：《微分几何与拓扑学简明教程》、卓里奇《数学分析》中从微分形式初步开始看，到向量分析和流形上的微积分部分；米尔诺的《从微分观点看拓扑》（主要参考书）；王则柯《经济学拓扑方法》；曼克勒斯《初等微分拓扑学》；张筑生《微分拓扑新讲》写得非常好，可做副参考书。然后直接看阿罗-德布鲁的一般均衡论文（诺奖级别哦！），重点在微分流形与光滑映射的概念、Sard定理、反函数定理即局部微分同胚定理、隐函数定理即原像定理、流形的横截性的概念、映射度（拓扑度）的概念和性质，庞加莱-霍普夫（Poincare-Hopf） 定理。至于纤维丛、上同调、K理论什么的，虽说本身是拓扑中非常重要的内容，比如上同调解决的就是闭微分形式的可积性问题，那个理论物理，特别是超弦中用的很多，经济学的就不用看了，浪费时间，遇到了直接跳过吧，不妨碍你去理解映射度等理论。 对于Poincare-Hopf Theorm，也就是奇点指标理论，以后有时间我可能会写篇文章专门介绍此定理的经济学应用。等不及的人可以参看两本书：马斯克莱尔《微观经济理论》、肯尼斯-阿罗《数理经济学手册》第一卷和米尔诺《从微分观点看拓扑》。我着重强调此定理,是因为它是目前我所见的数理经济学论文中（国内外）直接出现过的最高深的数学定理。如果有同学对拓扑这块特别感兴趣，我推荐一本《流形的拓扑学》苏竞存的，从最一开始的流形上的微积分，历经上同调、纤维丛、拓扑K论，一直到终极的阿蒂亚-辛格指标定理，理论体系是完整的。鉴于微分拓扑学是我最喜欢的数学分支之一，我还想提一点它的其他应用，比如超弦理论、广义相对论等等，逼格满满！为了能更好地体会微分拓扑的强大力量，我简单说下，完整学过高级微观经济学的同学都知道，市场经济的价格调节机制，根据瓦尔拉斯法则及商品的合意性就可以抽象为n维球面上的动力系统，这直接就是流形动力系统的一个特例罢了。所谓流形动力系统，直观地讲，就是这个系统的运动轨迹（相图）在扭曲的空间中（就是流形，就是曲面、超曲面的推广，流形中每一点附近的局部范围都可以附上区域性的曲线坐标，这种非线性坐标变换在几何上称为微分同胚，所以，流形实质上就是非线性空间，它在局部可以用一个线性空间进行局部近似）而不一定是普通的“直角坐标系相图”（欧式空间相图）；普通的直角坐标系相图，是我们已经在高级宏观经济学或动态经济学中学过的方法。通过微分拓扑（大范围分析学）我们可以研究n维流形上这个向量场（即动力系统）的整体性质，瓦尔拉斯法则保证了市场机制这个向量场的边界指向，从而允许我们运用Brouwer度理论进行整体分析。具体可见肯尼斯-阿罗的《数理经济学手册》第一卷：动力系统章节和整体分析章节！当然如果你没学过高级微观经济学，或者没学过动态经济学方法，不知道相图是什么，那么我也没有办法说清楚了，你也很可能不知道一般均衡是多么困难的问题......可能也就感受不到什么了。
最后，是我最想说的话。以上就是我作为一个数理经济学博士所掌握的全部数学了。但是，如果你已经掌握了非线性分析和微分拓扑的奥义，也请记住，这并不是终点，而是新的开始。做研究，请永远保持你的那颗求知之心，它是人区别于动物的永恒标志。（而非运用工具）
【研究】在高级微观经济学中，非线性规划和有关一般拓扑的知识大量涌现，除此之外，很容易让人忽视的几个地方出现了一阶偏微分方程的应用（如：进行福利分析时，运用可观测的马歇尔需求函数复原间接效用函数，一般的教科书上出现的是比较简单的情况，实际研究中可能会更复杂，所以微观经济分析中一阶偏微分方程有必要掌握）。博弈论里，常微分方程定性理论非常重要，尤其是演化博弈和微分博弈。在Varian的《微观经济学（高级教程）》、马斯克莱尔的《微观经济理论》一般均衡分析里出现了高深的指数定理，来自于微分拓扑的Poincare-Hopf定理（奇点指标定理）。当然，也可以从非线性泛函分析的拓扑度入手，相较于微分拓扑，非线性泛函分析可能稍稍平易近人一点点。在罗默的《高级宏观经济学》中,常微分方程、差分方程、变分法大量涌现，兼具少量的随机过程知识。前三者已经成为了宏观经济研究的标准数学工具。研读萨金特《递归宏观经济理论》、卢卡斯的《经济学动态递归方法》，诸如压缩映射原理、Hahn-Banach定理、Lebesgue积分理论等泛函分析的知识也得以直接展现。随机动态规划（特别是具有Markov链的Bellman泛函方程）、随机最优控制（特别是随机微分方程情形下的最大值原理与Hamilton-Jacobi-Bellman方程）、Kalman滤波已成为动态随机一般均衡模型的标准数学工具。
【实务】
实务工作相比研究工作就没有太多什么高大上的知识体系。最重要的还是数理统计学、计量经济学、时间序列分析这块。其次，Ito公式和随机微分方程也经常运用。优化方面，在实务中更多的是数值方法。
实务中更多的是除了数学之外的知识，我个人感觉，CPA的整个知识体系的确给了我非常大的帮助，尤其是财务管理、战略管理（非常重要，并不仅指系统地学习书本知识）和法律这块。
另外，中国的经济问题分析，绝对不能脱离【政治】。数学只是技术层面的问题。
【总结】现代社会，最重要的能力就是学习能力。与你共勉。
祝学习愉快！！
