二次函数知识点汇总 二次函数知识点汇总及详细剖析

  函数中,有一种多项式函数形如y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),最高次数是2,这种函数,我们称之为二次函数。二次函数知识点颇多,初高中都会出现,在初中,刚刚出现在一次函数数形结合学习之后,因此,二次函知识点离不开数形结合思想。
  二次函数主要有哪些知识点?

二次函数知识点汇总及详细剖析――步骤/方法

二次函数知识点汇总及详细剖析 1、

定义与定义表达式
  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
  y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
  则称y为x的二次函数。
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。


二次函数知识点汇总及详细剖析 2、

二次函数的三种表达式
  一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
  顶点式:y=a(x-h)^2;+k[抛物线的顶点P(h,k)]
  交点式:y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]
  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
  h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

二次函数知识点汇总 二次函数知识点汇总及详细剖析

二次函数知识点汇总及详细剖析 3、

二次函数的图像
  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,
  可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。


二次函数知识点汇总及详细剖析 4、

抛物线的性质
  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
  x=-b/2a。
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
  2.抛物线有一个顶点P,坐标为
  P[-b/2a,(4ac-b^2;)/4a]。
  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
  |a|越大,则抛物线的开口越小。
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
  抛物线与y轴交于(0,c)
  6.抛物线与x轴交点个数
  Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
  Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
  Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。


二次函数知识点汇总及详细剖析 5、

二次函数与一元二次方程
  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c,
  当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
  即ax^2;+bx+c=0
  此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
  函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
  画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。


二次函数知识点汇总及详细剖析 6、

二次函数解析式的几种形式
  (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
  (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
  (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
  说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点
  如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^2;如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k


二次函数知识点汇总及详细剖析 7、

定义与定义表达式
  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
  y=ax^2+bx+c
  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
  则称y为x的二次函数。
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  x是自变量,y是x的函数
  二次函数的三种表达式
  ①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
  ②顶点式[抛物线的顶点P(h,k)]:y=a(x-h)^2+k
  ③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2)
  以上3种形式可进行如下转化:
  ①一般式和顶点式的关系
  对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
  h=-b/2a=(x1+x2)/2
  k=(4ac-b^2)/4a
  ②一般式和交点式的关系
  x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

二次函数知识点汇总及详细剖析――注意事项

  二次函数知识点总是与图形相对应,这也是函数的特点之一,我们在学习二次函数的时候,一定要注重代数与几何的双重锤炼,做到真正的数形结合,同时,也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。

  

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