导数的几何意义 二阶导数 二阶导数-代数记法,二阶导数-几何意义

导数的几何意义 二阶导数 二阶导数-代数记法,二阶导数-几何意义

二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数y’=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量,它不像一阶导数那样有明显的几何意义,因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上,它主要表现函数的凹凸性,直观的说,函数是向上突起的,还是向下突起的。

二阶导数_二阶导数 -代数记法

二阶导数记作y‘’=d^2y/dx^2即y‘’=(y‘)’。
例如:y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。

二阶导数_二阶导数 -几何意义

(1)切线斜率变化的速度
(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)
这里以物理学中的瞬时加速度为例:
根据定义有a=(v'-v)/Δt=Δv/Δt
可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为:
a=limΔt→0Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)
又因为v=dx/dt所以就有
a=dv/dt=d^2x/dt^2即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数
f'(x)=dy/dx(f(x)的一阶导数)
f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx(f(x)的二阶导数)

二阶导数_二阶导数 -相关补充

二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量,它不像一阶导数那样有明显的几何意义,因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上,它主要表现函数的凹凸性,直观的说,函数是向上突起的,还是向下突起的。

二阶导数_二阶导数 -应用


二阶导数如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。

  

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