爱华网复合函数是数字内的一种函数。设y=f（u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g（x）的定义域为Dx，值域为Mx，那么对于Dx内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数（compositefunction），其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
复合函数_复合函数 -定义
设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。复合函数_复合函数 -生成条件
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。复合函数
复合函数_复合函数 -定义域
若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域的主要考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R；
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
复合函数_复合函数 -周期性
设y=f(u)，的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）复合函数_复合函数 -增减性
依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；
⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；
⑶判断每个常见函数的单调性；
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。
例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。解：函数定义域为R。
令u=x^2-4x+3,y=0.8^u。
指数函数y=0.8^u在（-∞，+∞）上是减函数，
u=x^2-4x+3在（-∞,2]上是减函数，在[2,+∞）上是增函数，
∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在（-∞,2]上是增函数，在[2,+∞）上是减函数。
利用复合函数求参数取值范围
求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须
将已知的所有条件加以转化。
复合函数_复合函数 -求导
复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导法则1：设u=g(x)
f'(x)=f'(u)*g'(x)
法则2：设u=g(x),a=p(u)
f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)
例如：
1、求：函数f(x)=(3x+2)^3+3的导数
设u=g(x)=3x+2
f(u)=u^3+3
f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2
g'(x)=3
f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)^2*3=9(3x+2)^2
2、求f(x)=√[(x-4)^2+25]的导数
设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2+25
f(a)=√a
f'(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2+25]}
p'(u)=2u=2(x-4)
g'(x)=1
f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2+25]}=(x-4)/√[(x-4)^2+25]
