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柯西中值定理，是著名的数学定理，证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。函数单调性，若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）。因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性。
柯西中值定理_柯西中值定理 -概念
柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。
柯西（Cauchy）中值定理设函数f(x),g(x)满足
⑴在闭区间[a,b]上连续；
⑵在开区间（a，b）内可导；
⑶对任一x∈（a,b）有g'(x）≠0，
则存在ξ∈（a,b），使得
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'（ξ）/g'（ξ）
柯西中值定理_柯西中值定理 -证明
柯西中值定理作辅助函数 F(x)=f(x)-f(b)-[f(a)-f(b)][g(x)-g(b)]/[g(a)-g(b)]显然，F(a)=F(b)=0
由罗尔中值定理知：存在ξ∈（a,b），使得F'（ξ）=0.
故F'（ξ）=f'（ξ）-[f(a)-f(b)]g'（ξ）/[g(a)-g(b)]=0，即f'（ξ）/g'（ξ）=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命题得证。
柯西中值定理_柯西中值定理 -拉氏定理
在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。
因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。柯西中值定理_柯西中值定理 -几何意义
若令u=f(x),v=g(x），这个形式可理解为参数方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'（ξ）/g'（ξ）表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：
用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。柯西中值定理_柯西中值定理 -应用
判断函数的单调性
函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？
我们知道若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）.因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.例1设f(0)=0，f(x）在（0，+∞）上单调递增.证明：f(x)x在（0，+∞）上单调递增.
证明由柯西中值定理，可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f′（ξ）1=f′（ξ），0<；ξ0.这样就可以证明f(x)x在（0，+∞）上单调递增.
不等式极限
柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限.两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记00，∞∞，0/∞；0-∞，∞-∞和∞∞型不定式.仔细观察柯西中值定理表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，我们将以微分中值定理为理论依据，通过求导，建立一个简便而有效的求非未定型极限的方法.我们得出下面这个定理：
⑴两个函数f(x）和g(x）在开区间（a，b）可微，并且在这个开区间上，g(x）的导数不等于0；
⑵存在极限limx→a+0f′（x)g′（x)=A，其中A为一个有限的常数.则在以下情况下：limx→a+0f(x)=0和limx→a+0g(x)=0或者limx→a+0g(x)=∞.那么就有：limx→a+0f(x)g(x)=limx→a+0f′（x)g′（x)=A.反过来在区间的另一个端点也存在相类似的结果.这个定理就称之为罗必达法则，能有效地应用于未定型的极限计算.
罗必达法则可以运用于7种未定型的极限计算，而最为基本的未定型只有两种：00和∞∞.00和∞∞型的我们都知道，那么在此就不做介绍了.其他的未定型都可以化成这两种形式：
①0；∞型.
通过恒等式：f(x）・g(x)=f(x)1g(x），从而得到00或∞∞这两种基本形式.
②∞-∞型.
通过恒等式：f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f(x）×1g(x），从而得到00型.
③00，∞0，1∞型.
通过恒等式f(x)g(x)=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x），从而得到00;0-∞，∞-∞，00，∞0，1∞型.再进一步化成00或∞∞这两种基本形式.
对于两种基本形式的未定型，直接应用洛必达法则即可，即表示为limf(x)g(x)=limf′（x)g′（x)=A.
显然这时的条件为f′（x），g′（x）都存在，并且g′（x）≠0.还有一个不是很明显，因此初学者常常犯错误的地方，就是要求f(x）和g(x）同时以0或者∞为极限.在实际做题时，一定要注意随时验证这三个条件，否则必定会犯错误..
例2证明：limx→0+x1-ex=-1.
证明令t=x，当x→0+时有t→0+，则可以得到：
limx→0+x1-ex=limx→0+t1-et=limx→0+1-et=-1.
推导中值公式
例3设f(x）在开区间（a，b）内二次可微，证明：任意的x，x0∈（a，b），存在ξ∈（x，x0），使f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2成立（这就是泰勒公式一次展开式）.证明由题可知，只需证明x>x0这一种情况.令
F(x)=f(x)-f(x0)-f′（x0)(x-x0），G(x)=12(x-x0)2.
求导可得F′（x)=f′（x)-f′（x0），G′（x)=x-x0.
因为F(x0)=G(x0)=0，F′（x0)=G′（x0)=0两次应用到柯西中值定理，可以得到：
f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F′（η）G′（η）=F′（η）-F′（x0)G′（η）-G′（x0)=F″（ξ）G″（ξ）=F″（ξ）.
其中η∈（x，x0），ξ∈（x0，η），则f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2得到证明.故命题得证.
研究函数的某些特性
⑴证明中值点的存在性例4?设函数f在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则?ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)=ξlnbaf′（ξ）.
证明设g(x)=lnx，显然它在[a，b]上与f一起满足柯西中值定理的条件，于是存在ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)lnb-lna=f′（ξ）1ξ，即存在ξ∈（a，b）使得f(b)-f(a)=ξf′（ξ）lnba.
⑵证明恒等式
例5 证明：arcsinx+arccosx=π2，x∈[0，1].
证明令f(x)=arcsinx+arccosx，则f′（x)=11-x2-11-x2≡0，?x∈（0，1），由于f(x）在[0，1]连续，所以f(x）≡f(0)=π2.，由此可知f(x)x′>
