向量积的性质 向量积 向量积-方程式,向量积-性质

向量积也被称为矢量积、叉积(即交叉乘积)、外积,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量,两个向量的叉积与这两个向量垂直,其运算结果叫叉积(即交叉乘积)、外积或向量积。向量积:在三维坐标系中,从坐标原点O沿X轴取向量OA=a,沿Y轴取向量OB=b.从原点OC垂直与OAB平面,其向量积OC=a*b,其方向由右手法则确定右手拇指指向OA,食指指向OB,中指指向OC。即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

向量积_向量积 -方程式


向量积

两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,

避免和字母x混淆)。向量积可以被定义为:

|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在这里θ表示两向量之间的角夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。

这个定义有一个问题,就是同时有两个单位向量都垂直于和:若满足垂直的条件,那么也满足。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。

向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin

即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定。


向量积

=(

),

=(

)。i,j,k分别是X,Y,Z轴方向的单位向量,则:


向量积

a×b=(

-

)i+(

-

)j+(

-

)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成det


向量积

b×a= -a×b右手规则


向量积

三角形ABC的面积=

向量积_向量积 -性质

几何意义

叉积的长度 |a×b| 可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。

混合积 [a b c] = (a×b)・c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。

代数规则

反交换律:

a×b= -b×a

加法的分配律:

a× (b+c) =a×b+a×c

与标量乘法兼容:

(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

不满足结合律,但满足雅可比恒等式:

a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

两个非零向量 a 和b 平行,当且仅当a×b=

拉格朗日公式

这是一个著名的公式,而且非常有用:

a× (b×c) =b(a・c) -c(a・b),


二重向量叉乘化简公式及证明

证明过程如下:

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形:

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是:

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i,j,k满足下列等式:

i×j=k;

j×k=i ;

k×i=j ;

通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;

a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式:

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i,j,k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

双线性性:

x × (ay + bz) = ax × y + bx ×z

(ay + bz) ×x = ay × x + bz × x.

反交换律:

x × y + y ×x = 0

同时与 x 和 y 垂直:

x ・ (x ×y) =y ・ (x ×y) = 0

拉格朗日恒等式

|x × y|2 = |x|2 |y|2 - (x ・y)2.

不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:

向量积的性质 向量积 向量积-方程式,向量积-性质

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x ×y) ≠ 0

向量积_向量积 -向量应用

在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。

求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。

向量积_向量积 -相关介绍

向量积:在三维坐标系中,从坐标原点O沿X轴取向量OA=a,沿Y轴取向量OB=b.从原点OC垂直与OAB平面,其向量积OC=a*b,其方向由右手法则确定右手拇指指向OA,食指指向OB,中指指向OC。因此可以断定OC向量积是作用于OAB平面上的,而单一力距只垂直一轴作杠杆转动。

  

爱华网本文地址 » http://www.413yy.cn/a/8104110103/179710.html

更多阅读

共青团的性质、任务及奋斗目标 共青团的目标和任务

共青团的性质、任务及奋斗目标性质:中国共产主义共青团是中国共产党领导的先进青年的群众组织,是广大青年在实践中学习共产主义的学校,是中国共产党的助手和后备军。共青团组织的先进性主要表现在以下方面:1、在政治上,坚决拥护、接受

九年级数学上册:相似三角形的性质教学反思

我在上《相似三角形的性质》这节课时,先复习全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等;对应边相等;对应中线、对应角平分线、对应高线相等;周长相等;面积相等。根据全等三角形是特殊的相似三角形,诱导学生们在类比中,猜想相似三角形的性质,同

企业借款给股东的性质认定 外资企业 股东借款

企业借款给股东的性质认定赫少华·律师 就工商总局的三个答复,云山雾罩,有人认为且自相矛盾;微博中转载后,各抒起见,其中-- @投行笔记:三个文件之间并无矛盾。180号文确立了股东与公司之间有真实借贷关系的不属于抽逃出资的原则。63号

高校共青团组织的性质和作用 共青团性质是什么

高校共青团组织的性质和作用一、高校共青团组织的性质高校共青团作为高校党组织领导下的先进青年的群众组织,是高校团员青年根本利益的代表和维护者,是高校团员青年在实践中学习中国特色社会主义和共产主义的学校;是培养各类高级专门人

声明:《向量积的性质 向量积 向量积-方程式,向量积-性质》为网友最后的最后分享!如侵犯到您的合法权益请联系我们删除