海伦公式的证明 海伦公式 海伦公式-原理简介,海伦公式-证明过程

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为:S=√p(p-a)(p-b)(p-c),它的特点是形式漂亮,便于记忆。相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的,而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中,所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。

海伦公式是什么_海伦公式 -原理简介

中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。
假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长:
p=(a+b+c)/2
注:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

海伦公式是什么_海伦公式 -证明过程

证明(1)

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为下述推导

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)][2]

证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是,在方程px2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}

当P=1时,△2=q,
△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}
因式分解得
△^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]
=1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得:
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}.其中c>b>a.
根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:
已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)
代入解得s=8√3

证明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

证明⑷

通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)

海伦公式是什么_海伦公式 -推广相关

介绍

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p=(a+b+c)/2,则S△ABC
=1/2aha
=1/2ab×sinC
=rp
=2R^2sinAsinBsinC
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中,S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:设△abc中,a、b、c分别为角a、b、c的对边,ha为a边上的高,r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径,p=(a+b+c),则s△abc=aha=ab×sinc=rp=2r2sinasinbsinc
其中,s△abc=就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形

s=

=①

=②

=③

=④

=⑤

二、海伦公式的证明
证一勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式s△abc=aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。
证明:如图ha⊥bc,根据勾股定理,得:
x=y=
ha===
∴s△abc=aha=a×=
此时s△abc为变形④,故得证。
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d,
若bd=u,dc=v,ad=t.则
t2=
证明:由证一可知,u=v=
∴ha2=t2=-
∴s△abc=aha=a×
此时为s△abc的变形⑤,故得证。
证三:余弦定理
分析:由变形②s=可知,运用余弦定理c2=a2+b2-2abcosc对其进行证明。
证明:要证明s=
则要证s=
=
=ab×sinc
此时s=ab×sinc为三角形计算公式,故得证。
证四:恒等式
分析:考虑运用s△abc=rp,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式:若∠a+∠b+∠c=180○那么
tg・tg+tg・tg+tg・tg=1
证明:如图,tg=①
tg=②
tg=③
根据恒等式,得:
++=
①②③代入,得:
∴r2(x+y+z)=xyz④
如图可知:a+b-c=(x+z)+(x+y)-(z+y)=2x
∴x=同理:y=z=
代入④,得:r2・=
两边同乘以,得:
r2・=
两边开方,得:r・=
左边r・=r・p=s△abc右边为海伦公式变形①,故得证。
证五:半角定理
半角定理:tg=
tg=
tg=
证明:根据tg==∴r=×y①
同理r=×z②r=×x③
①×②×③,得:r3=×xyz

应用

由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p=,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明:如图,延长DA,CB交于点E。
设EA=eEB=f
∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3∴△EAB≌△ECD
∴===
解得:e=①f=②
由于S四边形ABCD=S△EAB
将①,②跟b=代入公式变形④,得到:
∴S四边形ABCD=
所以,海伦公式的推广得证。

海伦公式是什么_海伦公式 -证明过程

证明⑴与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为下述推导cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是,在方程px2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}

当P=1时,△2=q,

△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}

因式分解得

△^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

=1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦――秦九韶公式”。
海伦公式

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}.其中c>b>a.

根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)

代入解得s=8√3

证明⑶

海伦公式的证明 海伦公式 海伦公式-原理简介,海伦公式-证明过程
海伦公式

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

证明⑷

通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)

海伦公式是什么_海伦公式 -推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:

设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p=(a+b+c)/2,则

S△ABC

=1/2aha

=1/2ab×sinC

=rp

=2R^2sinAsinBsinC

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中,S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:

设△abc中,a、b、c分别为角a、b、c的对边,ha为a边上的高,r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径,p=(a+b+c),则

s△abc=aha=ab×sinc=rp

=2r2sinasinbsinc
其中,s△abc=就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、海伦公式的变形

s=

=①

=②

=③

=④

=⑤

二、海伦公式的证明

证一勾股定理

分析:先从三角形最基本的计算公式s△abc=aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。

证明:如图ha⊥bc,根据勾股定理,得:

x=y=

ha===

∴s△abc=aha=a×=

此时s△abc为变形④,故得证。

证二:斯氏定理

分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△abc边bc上任取一点d,

若bd=u,dc=v,ad=t.则

t2=

证明:由证一可知,u=v=

∴ha2=t2=――

∴s△abc=aha=a×

=

此时为s△abc的变形⑤,故得证。

证三:余弦定理

分析:由变形②s=可知,运用余弦定理c2=a2+b2――2abcosc对其进行证明。

证明:要证明s=

则要证s=

=

=ab×sinc

此时s=ab×sinc为三角形计算公式,故得证。

证四:恒等式

分析:考虑运用s△abc=rp,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式:若∠a+∠b+∠c=180○那么

tg・tg+tg・tg+tg・tg=1

证明:如图,tg=①

tg=②

tg=③

根据恒等式,得:

++=

①②③代入,得:

∴r2(x+y+z)=xyz④

如图可知:a+b――c=(x+z)+(x+y)――(z+y)=2x

∴x=同理:y=z=

代入④,得:r2・=

两边同乘以,得:

r2・=

两边开方,得:r・=

左边r・=r・p=s△abc右边为海伦公式变形①,故得证。

证五:半角定理
半角定理:tg=

tg=

tg=

证明:根据tg==∴r=×y①

同理r=×z②r=×x③

①×②×③,得:r3=×xyz

海伦公式是什么_海伦公式 -应用

海伦公式证明

证一:勾股定理

海伦公式

勾股定理证明海伦公式

证二:斯氏定理

证三:余弦定理分析:由变形②S=可知,运用余弦

斯氏定理证明海伦公式

定理c^2=a^2+b^2――2abcosC对其进行证明。

证明:要证明S=

则要证S=ab×sinC

此时S=(ab×sinC)/2为三角形计算公式,故得证。

海伦公式
证四:恒等式

恒等式证

恒等式证明⑵

证五:半角定理

∵由证一,x==――c=p――c

y==――a=p――a

z==――b=p――b

∴r3=∴r=

∴S△ABC=r・p=故得证。
海伦公式

推广


由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p=,则S四边形=

现根据猜想进行证明。

证明:如图,延长DA,CB交于点E。

设EA=eEB=f

∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°
海伦公式

∴∠1=∠3∴△EAB≌△ECD

∴===

解得:e=①f=②

由于S四边形ABCD=S△EAB

将①,②跟b=代入公式变形④,得到:

∴S四边形ABCD=

所以,海伦公式的推广得证

海伦公式是什么_海伦公式 -例题



海伦公式C语言版:

如图四边形ABCD内接于圆O中,SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.

求:四边形可能为等腰梯形。

解:设BC=x

由海伦公式的推广,得:

(4――x)(2+x)2=27

x4――12x2――16x+27=0

x2(x2―1)――11x(x――1)――27(x――1)=0

(x――1)(x3+x2――11x――27)=0

x=1或x3+x2――11x――27=0

当x=1时,AD=BC=1

∴四边形可能为等腰梯形。

在程序中实现(VBS):

dima,b,c,p,q,s

a=inputbox("请输入三角形第一边的长度")

b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")

c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")

a=1*a

b=1*b

c=1*c

p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)

q=sqr(p)

s=(1/4)*q

msgbox("三角形面积为"&s),,"三角形面积"

在VC中实现

#include<stdio.h>

#include<math.h>

main()

inta,b,c,s;

printf("输入第一边n");

scanf("%d",&a);

printf("输入第二边n");

scanf("%d",&b);

printf("输入第三边n");

scanf("%d",&c);

s=(a+b+c)/2;

printf("面积为:%fn",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));

C#版:

usingSystem;

usingSystem.Collections.Generic;

usingSystem.Text;

namespaceCST09078

classProgram

staticvoidMain(string[]args)

doublea,b,c,p,s;

Console.WriteLine("输入第一条边的长度:n");

a=Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.WriteLine("输入第二条边的长度:n");

b=Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.WriteLine("输入第三条边的长度:n");

c=Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

p=(a+b+c)/2;

s=Math.Sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

Console.WriteLine("我算出来的面积是{0}",s);

Console.Read();

pascal版:

programx;

var

a,b,c:real;

functionxb(x,y,z:real):real;

var

p,s:real;

begin

p:=(x+y+z)/2;

s:=sqrt(p*(p-x)*(p-y)*(p-z));

xb:=s;

end;

begin

readln(a,b,c);

writeln(xb(a,b,c):0:2);

end.

  

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