指数函数求导公式推导 指数函数 指数函数-数学术语，指数函数-公式推导

指数函数是数学中重要的函数。应用到值 x 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还叫做欧拉数。指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

指数函数图像_指数函数 -数学术语

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候，y等于1。当0
指数函数

作为实数变量x的函数，

的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。

有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如

（k属于R） 的

函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。

指数函数的一般形式为

(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1。

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数中可以看到

：

（1） 指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2） 指数函数的值域为。

（3） 函数图形都是上凹的。

（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0
指数函数

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过

程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若

,则函数定过点(0,1+b))

（8） 指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数

（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。

指数函数图像_指数函数 -公式推导

e的定义：

设a>0,a≠1

方法一：

特殊地，当

时，

。

方法二：

设

，两边取对数ln y=xln a

两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a

特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

eo=1

指数函数图像_指数函数 -函数图像

（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在

，图像

。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在

，图像

。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“

”；在y轴左边“

”。（如右图）》。

(4)y等于a的x次方与y等于a分之一的x次方的图像关于y轴对称。

指数函数图像_指数函数 -幂的比较

比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y=3 ，y=3 因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y 大于y 。

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可

以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：

,

,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：

对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，

大于1，异向时

小于1.

〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.

⑴

因为4>1，所以

在R上是增函数；

⑵

因为0

在R上是减函数。

指数函数图像_指数函数 -定义域

x∈R，指代一切实数（-∞，+∞），就是R。

指数函数图像_指数函数 -值域

对于一切指数函数

来讲，当a满足a>0且a≠1时，值域为(0, +∞)；a=1时也可以，此时值域为{1}。

指数函数图像_指数函数 -化简技巧

（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分；

（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母；

（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破；

（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化；

（5）参考图像来进行化简。

指数函数图像_指数函数 -运算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*。

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand)。

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

注意：当是奇数时，当是偶数时。

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。

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