二次函数顶点式推导 顶点式 顶点式-推导,顶点式-讲解

顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标:(h,k)。还有另外一种形式:y=a(x+h)2+k(a≠0),则此时顶点坐标为(-h,k)。a

顶点式_顶点式 -推导


顶点式

一般式


顶点式

提出a得


顶点式

配方得


顶点式

=0 则


顶点式
顶点式

所以顶点坐标为

顶点式_顶点式 -讲解

概念

1.二次函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2;+k,y=ax2;+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

解析式

y=ax2;y=a(x-h) 2;

y=a(x-h)2;+k

y=ax2;+bx+c

顶点坐标(0,0),(h,0),(h,k)

二次函数顶点式推导 顶点式 顶点式-推导,顶点式-讲解

(-b/2a,(4ac-b2;)/4a)

对 称 轴x=0,x=h,x=h

x= -b/2a

当h>0时,y=a(x-h)2;的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到,

当h

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2;+k的图象;

当h>0,k

当h0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2;+k的图象;

当h

因此,研究抛物线 y=ax2;+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2;+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax2;+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a

3.抛物线y=ax2;+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤时,y随x的增大而减小;当x≥时,y随x的增大而增大.若a

4.抛物线y=ax2;+bx+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b2;-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|=.

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a

5.抛物线y=ax2;+bx+c的最值:如果a>0(a

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=ax2+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2;+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

抛物线字母和抛物线的关系

1.抛物线的一般式: y=ax2+bx+c (a≠0)

顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)

2.抛物线y=ax2+bx+c化成顶点式为y=a(x-h)2+k


顶点式

顶点坐标为


顶点式

对称轴为


顶点式

最值为

3.a>0时开口向上

a

  

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