模,中国汉字,读“mó”时指规范、仿效,如模仿;读“mú”时指人的长相或装束打扮,如模样。
模_模 -模
模_模 -正文
在线性空间的基础上建立起来的一种代数系统,其概念至少可以追溯到19世纪L.克罗内克曾考虑的多项式环上的模。20世纪20年代末,(A.)E.诺特研究过模在表示论以及代数的结构理论上所起的作用,而使模成为代数学中的一个重要工具。20世纪40年代发展起来的同调代数,更以模为其主要的研究对象,从而对环论的发展又起了促进的作用。
把线性空间的系数域改用环U来代替就得到环U上的模。由于一般的环不是可交换的,所以模有左模与右模之分。设U为任意的一个环,X为一个加法交换群,如果有一种乘法,使得对任何α∈U,x∈X,乘积αx必属于X,而且
那么X称为一个左U模,简称U模。特别,若U有单位元1,且1x=x,则X称为一个酉U模。如果U的元素在乘积的右边即xα,那么X称为右U模。域F上的线性空间当然是一个(双边的)F模。环U的任一个左理想必是一个U模,特别,环U本身也是一个U模(也是右U模)。对于任一个加法交换群X,若以l(X)为其左自同态环,则X是一个左l(X)模。因为当σ∈l(X)时,可定义σx=σ(x),故对于任意的环U,任何交换群X都可由环同态
来定义成一个U模,因为这时可取αx=ψ(α)x。
假定X是一个U模,而A是X的子群,如果A也是一个U模(对同样的乘法),那么A称为X的子模。这时,商群X/A可以作成一个U模,称为商模或差模(因X是一个加法交换群)。若A与B都是X的子模,则A∩B也是X的一个子模,而且集合{α+b│α∈A,b∈B}是A与B的和,记为A+B,如果A+B中每一个元素表成A与B的元素之和的表达式是惟一的,即,当α+b=α┡+b┡时必有α=α┡,b=b┡,那么此和称为直和,记为A