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数学期望，早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
数学期望_数学期望 -类型
离散型
数学期望离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi(=xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。
连续型
设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。
能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围(取值)确定，
变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量，
比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，
k是随机变量，
k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20，
因而k是离散型随机变量。
如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量，
比如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，
x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等，因而称这随机变量是连续型随机变量。
连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为：
数学期望_数学期望 -定义
定义1
按照定义，离散随机变量的一切可能取值与其对应的概率P的乘积之和称为数学期望，记为E.如果随机变量只取得有限个值:x,y,z,...则称该随机变量为离散型随机变量。
定义2
决定可靠性的因素常规的安全系数是根据经验而选取的，即取材料的强度极限均值（概率理论中称为数学期望)与工作应力均值（数学期望)之比
数学期望_数学期望 -计算
随机变量
在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”――“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）
单独数据
数学期望对于数学期望的定义是这样的。数学期望
E(X)=X1*p(X1）+X2*p(X2）+……+Xn*p(Xn)
X1,X2,X3，……，Xn为这几个数据，p(X1）,p(X2）,p(X3），p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1）,p(X2）,p(X3），……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi).则：
E(X)=X1*p(X1）+X2*p(X2）+……+Xn*p(Xn)=X1*f1(X1）+X2*f2(X2）+……+Xn*fn(Xn)
很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
我们举个例子，比如说有这么几个数：
1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，1
1出现的次数为3次，占所有数据出现次数的3/12，这个3/12就是1所对应的频率。同理，可以计算出f(2)=2/12,f(5)=2/12,f(6)=1/12,f(8)=2/12,f(9)=1/12,f(4)=1/12根据数学期望的定义：
E(X)=1*f(1)+2*f(2)+5*f(5)+6*f(6)+8*f(8)+9*f(9)+4*f(4)=13/3
所以E(X)=13/3,
这些数的算术平均值：
Xa=（1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1）/12=13/3
所以E(X)=Xa=13/3
