欧拉线是一个数学概念。
欧拉线_欧拉线 -欧拉线概述
欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。
欧拉线_欧拉线 -欧拉线的证明
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G’。 ∵ BD是直径, ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB,AH⊥BC, ∴ DA∥CH,DC∥AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形, ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点,O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM∥AH, ∴ △OMG’ ∽△HAG’。 ∴ 。 ∴ G’是△ABC的重心。 ∴ G与G’重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。
欧拉线_欧拉线 -欧拉线另证
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。