黎曼流形 黎曼流形 黎曼流形-介绍,黎曼流形-简介

在微分流形以及黎曼几何学科中,一个黎曼流形是具有黎曼度量的实微分流形,换句话说,这个流形上配备有一个对称正定协变二阶张量场,亦即在每一点的切空间上配备一个2阶正定矩阵。给了度量以后,我们就可以向数学分析里做的那样,在黎曼流形上建立起微积分的理论。

黎曼流形_黎曼流形 -介绍


黎曼流形爱因斯坦的广义相对论告诉我们,引力并不是真正的力,而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说,他身处在这个空间里,是无法直接体会到空间扭曲的。 但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲,测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。 具有度量的空间就称为黎曼空间。

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具体的定义如下:

黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形,换句话说,这个流形上有一个对称正定协变二阶张量场, 亦即每一点处有一个2阶正定矩阵。给了度量以后, 我们就可以向数学分析里做的那样,建立起微积分的理论。

欧氏空间有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩阵就是单位矩阵。
欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。曲线和曲面的微分几何里,我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形,所以自然赋予了度量结构。

黎曼度量给定后,我们可以有唯一的确定出一个对称(即无挠)联络,并且它是保持黎曼内积。这个联络称为黎曼联络。

黎曼流形_黎曼流形 -作用

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有了联络,我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数,从而建立起流形上的微分学。 在欧氏空间上,联络是0,所以这就是通常意义上的向量函数的微分。

黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念,它反映了流形的弯曲程度,是内蕴性质,也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。 曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。

大数学家高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率, 发现这种曲率是内蕴的,尽管它的定义式不是内蕴的。 这是一个非常了不起的发现。

  

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