爱华网韦达定理系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达定理（又叫一元二次方程的根与系数的关系，简称根系关系。）指出，一元二次方程的两根的和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根的积等于它的常数项除以二次项系数所得的商。
韦达定理_韦达定理 -定理定义
韦达定理
设一元二次方程
中，两根x?、x?有如下关系：
韦达定理
韦达定理
韦达定理_韦达定理 -数学推导
韦达定理
由一元二次方程求根公式知：
则有：
韦达定理
韦达定理
韦达定理_韦达定理 -定理推广
逆定理
韦达定理
如果两数α和β满足如下关系：α+β=
，α・β=
，那么这两个数α和β是方程
的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
推广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
定理：
韦达定理
设
（i=1、2、3、……n）是方程：
的n个根，记
（k为整数），则有：
韦达定理
。
韦达定理_韦达定理 -发展简史
弗朗索瓦韦达
法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在着作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理_韦达定理 -定理应用
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽，在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长，下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。
一、直接应用韦达定理
若已知条件或待证结论中含有a＋b和a・b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．
例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．
求证：
(1)c＋d＝2bcosA；
(2)c・d＝b2－a2．
分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．
证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有
a2＝b2＋c2－2bccosA；
a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．
∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，
d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．
于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．
由韦达定理，有
c＋d＝2bcosA，c・d＝b2－a2．
例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．
分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．
解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．
由韦达定理，得a＋b＝－1，a・b＝－1．
故ab＋a＋b＝－2．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a・b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．
例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．
证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．
由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．
∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．
则z2≤0，又∵z为实数，
∴z2＝0，即△＝0．
于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．
由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理
三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理
例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．
解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有
a＋2a＝－P，①
a・2a＝q，②
P2－4q＝1．③
把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．
∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．
解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．
例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．
证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．
由题意知α－β＝α＇－β＇，
故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．
从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①
把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．
故p－q＝0或p＋q＋4＝0，
即p＝q或p＋q＝－4．
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理
例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．
解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．
由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①
α(4－α)＝－(m－1)．②
由②得m＝1－4α＋α2，③
把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，
即(α－3)(α2＋1)＝0．
∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．
把α＝3代入③，得m＝－2．
故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．
