土地性质的定义 子集 子集-定义,子集-性质

子集,是对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也说集合A是集合B的子集。如B包含A,说明A是B的子集;或如A包含于B,也说明A是B的子集。如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,而集合B中至少有一个元素不属于集合A,则称集合A是集合B的真子集。空集是任何集合的子集。任何一个集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集。

子集_子集 -定义

对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也说集合A是集合B的子集。

子集_子集 -性质

空集是任何集合的子集。

子集_子集 -举例说明

任何一个正偶数都是自然数。就是说,正偶数集E的任何一个元素都是自然数集N的一个元素。
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集。
记作:A?B
读作“A含于B”(或B包含A)。例如,上述的如果A是B的子集,但A中至少有一个元素不属于B,那么A就是B的真子集,可记作
读作“A不含于B”(或“B不包含A”)。

子集_子集 -分类

命题1:空集是任意集合的子集。

证明:给定任意集合A,要证明Φ是A的子集。这要求给出所有Φ的元素是A的元素;但是,Φ没有元素。
对有经验的数学家们来说,推论"Φ没有元素,所以Φ的所有元素是A的元素"是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。因为Φ没有任何元素,如何使"这些元素"成为别的集合的元素?换一种思维将有所帮助。
为了证明Φ不是A的子集,必须找到一个元素,属于Φ,但不属于A。因为Φ没有元素,所以这是不可能的。因此Φ一定是A的子集。这个命题说明:包含是一种偏序关系。

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命题2:若A,B,C是集合,则:
自反性:A?A
反对称性:A?B且B?A当且仅当A=B
传递性:若A?B且B?C则A?C
这个命题说明:对任意集合S,S的幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数。

命题3:若A,B,C是集合S的子集,则:
存在一个最小元和一个最大元:Φ?A?S(thatΦ?AisProposition1above.)
存在并运算:A?A∪B若A?C且B?C则A∪B?C
存在交运算:A∩B?A若C?A且C?B则C?A∩B
这个命题说明:表述"A?B"和其他使用并集,交集和补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。

命题4:对任意两个集合A和B,下列表述等价:A?BA∩B=AA∪B=BA?B=B′?A′

子集_子集 -注意问题

谈起子集,特别要注意的是空集,记住空集是任何集合的子集,而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集,故空集是任何非空集合的真子集。然后要知道,如果一个集合的元素有n个,那么它的子集有2的n次方个(注意空集的存在),.非空子集有2的n次方减1个,真子集有2的n次方减1个,非空真子集有2的n次方减2个。

  

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