热传导方程式 热传导方程式 热传导方程式-简介,热传导方程式-以傅立叶级数解

热传导方程式(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达,其中u =u(t, x, y, z) 表温度,它是时间变量 t 与空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间座标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程唯一解,必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。

热传导方程式 热传导方程式 热传导方程式-简介,热传导方程式-以傅立叶级数解

热传导方程_热传导方程式 -简介

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质,这代表热从高温处向低温处传播。一般而言,许多不同的初始状态会趋向同一个稳态(热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态,即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子,热方程可推广为下述形式

其中的 Δ 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程,诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型,诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式(但时间参数为纯虚数),本质却不是扩散问题,解的定性行为也完全不同。

就技术上来说,热方程违背狭义相对论,因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计,但是若要为热传导推出一个合理的速度,则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

热传导方程_热传导方程式 -以傅立叶级数解热方程

在理想状态下一根棍子的热传导,配上均匀的边界条件。

以下解法首先由约瑟夫・傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur(中译:解析热学)给出。先考虑只有一个空间变量的热方程,这可以当作棍子的热传导之模型。方程式如下:

其中u=u(t,x) 是t和x的双变量函数。

x是空间变量,所以x∈ [0,L],其中L表示棍子长度。t是时间变量,所以t≥ 0。 假设下述初始条件

其中函数f是给定的。再配合下述边界条件

让我们试着找一个非恒等于零的解,使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式:

这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程式 (1),

由于等式右边只依赖x,而左边只依赖t,两边都等于某个常数 − λ,于是:

以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解:

假设 λ < 0,则存在实数B、C使得 从 (3) 得到 于是有B= 0 =C,这蕴含u恒等于零。 假设 λ = 0,则存在实数B、C使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出u恒等于零。 因此必然有 λ > 0,此时存在实数A、B、C使得 从等式 (3) 可知C= 0,因此存在正整数n使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。

一般而言,满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出:

其中

推广求解技巧

上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是:在适当的函数空间上,算子 可以用它的特征向量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。

考虑线性算子Δu=ux x,以下函数序列

(n≥ 1)是 Δ 的特征向量。诚然:

此外,任何满足边界条件f(0)=f(L)=0 的 Δ 的特征向量都是某个en。令 L(0,L) 表 &#91;0,L&#93; 上全体平方可积函数的向量空间。这些函数en构成 L(0,L) 的一组正交基底。更明白地说:

最后,序列 {en}n∈N张出 L(0,L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ对角化。

热传导方程_热传导方程式 -非均匀不等向介质中的热传导

一般而言,热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式,因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。

单位时间内流入区域V的热量由一个依赖于时间的量qt(V) 给出。假设q有个密度Q(t,x),于是 热流是个依赖于时间的向量函数H(x),其刻划如下:单位时间内流经一个面积为dS而单位法向量为n的无穷小曲面元素的热量是 因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出

其中n(x) 是在x点的向外单位法向量。

热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系 其中A(x) 是个 3 × 3 实对称正定矩阵。 利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分

温度在x点对时间的改变率与流进无穷小体积元素的热量成比例,此比例常数与时间无关,而可能与空间有关,写作 κ (x)。 将以上所有等式合并,便获得支配热流的一般公式。

注记:

系数 κ(x) 是该材料在x点的比热× 密度。 在等方向性介质的情况,矩阵A只是个标量,等于材料的导热率。 在非等向的情况,A不一定是标量,我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题,证明它是适定的,并(或)导出若干定性结果(诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质)。这些论证通常有赖于单参数半群理论:举例来说,如果A是个对称矩阵,那么由 定义的椭圆算子是自伴而且耗散的,因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。

热传导方程_热传导方程式 -粒子扩散

粒子扩散方程

在粒子扩散的模性中,我们考虑的方程涉及

在大量粒子集体扩散的情况:粒子的体积浓度,记作c。 或者

在单一粒子的情况:单一粒子对位置的机率密度函数,记作P。 不同情况下的方程式:

或者

c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数,它控制扩散速度,通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c(或第二种情况下的机率密度P),则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间t= 0 时置于 ,则相应的机率密度函数具有以下形式:

它与机率密度函数的各分量Rx,RyandRz的关系是:

随机变量Rx,Ry,Rz服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。在三维的情形,随机向量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。

在t=0时,上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件,其机率密度函数是在原点的狄拉克δ函数,记为 (三维的推广是 );扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

扩散方程的历史源流

粒子扩散方程首先由 Adolf Fick 于1855年导得。

以格林函数解扩散方程

格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解(数学家称之为扩散方程的基本解)。当粒子初始位置在原点 时,相应的格林函数记作 (t>0);根据扩散方程对平移的对称性,对一般的已知初始位置,相应的格林函数是 。

对于一般的初始条件,扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。

举例来说,设t=0时有一大群粒子,根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何(广义)函数一样,浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加:

扩散方程是线性的,因此在之后的任一时刻t,浓度分布变为:

在粒子扩散的情形,我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言,任何扩散过程的解都有这种表法,包括热传导或动量的扩散;后者关系到流体的黏性现象。

一维格林函数解列表以下以简写 BC 代表边界条件,IC 代表初始条件。

<IMG class=tex alt="begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & -infty<x<infty,,0<t

<IMG class=tex alt="begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & , 0le x<infty, , 0<t

应用

热方程在许多现象的数学模型中出现,而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程,并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解,因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解,此方法也可用于许多无解析解的模型(详见文献 Wilmott,1995)。

热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一,由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。

  

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