爱华网微分，[Mathematics] differential; differentiation，是在解决直与曲的矛盾中产生的，微分是微积分学中除了导数之外的另一个基本概念。都是经济应用数学中的基础内容。在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量△x趋于无穷小时，则记作微元dx。
微分_微分 -概述
微分
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。
微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
微分_微分 -定义
设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为
微分，其中A是不依赖于△x的常数，
微分是△x的高阶无穷小，则称函数
微分在点x0可微的。
微分叫做函数
微分在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy＝
微分。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差
微分是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。导数的记号为：
微分还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
微分得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
微分_微分 -几何意义
几何意义
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
微分_微分 -法则
微分
微分_微分 -基本公式
微分
微分_微分 -形式不变性
微分则复合函数
微分的微分为：
微分，由于
微分，因此我们可以把复合函数的微分写成
微分。不论u是自变量还是中间变量，
微分的微分dy总可以用
微分与du的乘积来表示，这一性质称为微分形式不变性。
微分_微分 -一元型
定义设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A・△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A・△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A・△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。推导设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为dy=f′(X)dX。几何意义设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对
应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
微分_微分 -微分应用
法线我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。
假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为：
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函数与减函数
微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。
我们知道函数y=x^2-1(x>0)是增函数，我们用微分证明它：
∵y=x^2-1
∴dy/dx=2x
当x>0时，dy/dx>0，这说明dy/dx始终为正，所以函数y=x^2-1(x>0)是增函数。
再举一个例子，我们知道函数y=1/(x+1)(x>0)是减函数，我们用微分证明它：
∵y=1/(x+1)=(x+1)^(-1)
∴dy/dx=(-1)(x+1)^(-2)=-1/(x+1)^2
由于(x+1)^2>0，dy/dx<0，这说明dy/dx始终为负，所以函数y=1/(x+1)(x>0)是减函数。
变化的速率
微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。
比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，
在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。
所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。
