三角形重心性质证明 三角形重心 三角形重心-定义,三角形重心-性质证明

三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时,重心与形心重合。在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知,OA'=1/3AA',OB'=1/3BB',OC'=1/3CC',过O,A分别作a边上高OH',AH,可知OH'=1/3AH 则,S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC;同理可证S△AOC=1/3S△ABC,S△AOB=1/3S△ABC,所以,S=S=S。

三角形重心_三角形重心 -定义

三角形重心的定义

三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时,重心与形心重合。

三角形重心_三角形重心 -性质证明


证明一

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。

求证:EG=1/2CG

证明:过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE,EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2


证明二

∴EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法:

在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知,OA'=1/3AA',OB'=1/3BB',OC'=1/3CC',过O,A分别作a边上高OH',AH,可知OH'=1/3AH 则,S=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S;同理可证S=1/3S,S=1/3S所以,S=S=S

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形)

证明方法:

设三角形三个顶点为(x,y),(x,y),(x,y) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平方和为:

(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)

=3x-2x(x+x+x)+3y-2y(y+y+y)+x+x+x+y+y+y

=3[x-1/3*(x+x+x)]+3[y-1/3*(y+y+y)]+x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y)

显然当x=(x+x+x)/3,y=(y+y+y)/3(重心坐标)时

上式取得最小值x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y)

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标

即其坐标为[(X+X+X)/3,(Y+Y+Y)/3];

空间直角坐标系――横坐标:(X+X+X)/3,纵坐标:(Y+Y+Y)/3,纵坐标:(Z+Z+Z)/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,则M点为△ABC的重心,反之也成立。

7、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)

三角形重心_三角形重心 -重心的性质及证明方法


三角形重心

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

三角形ABC,E、F是AC,AB的中点。EB、FC交于O。

证明:过F作FH平行BE。

∵AF=BF且FH//BE

∴AH=HE=1/2AE(中位线定理)

又∵ AE=CE

∴HE=1/2CE

三角形重心性质证明 三角形重心 三角形重心-定义,三角形重心-性质证明

∴FO=1/2CO(

  

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