爱华网一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x)。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f-1(x)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"?1"指的并不是幂。在微积分里，f(n)(x)是用来指f的n次微分的。若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。
什么是反函数_反函数 -简介
所谓反函数（inversefunction）就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=g(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
什么是反函数_反函数 -性质
反函数一般具有以下几种性质：
1、互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；
2、函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的；
3、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
4、偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
5、一切隐函数具有反函数；
6、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
7、严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。
反函数
8、反函数是相互的
9、定义域、值域相反对应法则互逆
10、不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方
11、反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I}内也可导，且[F‘（X)]'=1[F’（Y）]'。
例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2x
例题：求函数3x-2的反函数
解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)
什么是反函数_反函数 -相关说明
函数y=f(x)（x∈A）中，设它的值域为C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)（x∈A）的反函数.
什么是反函数_反函数 -与函数的关系
（1）反函数与函数是相对的。如果函数有反函数，那么函数的反函数就是，即与互为反函数。
（2）与的定义域，值域正好对调。
说明：反函数的定义域是由原函数的值域确定，而不是由它的表达式确定。
什么是反函数_反函数 -存在的条件
按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2,x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．
函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．
什么是反函数_反函数 -简单命题
（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．
（2）一个函数在某一区间是增（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．
什么是反函数_反函数 -函数y=f(x)
求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是：
①确定函数y=f(x)的定义域和值域；
②视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f-1(y);
③互换x,y得反函数的解析式y=f-1(x)；
④写出反函数的定义域（原函数的值域）.
