爱华网在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格・康托尔在1883年引入（但由亨利・约翰・斯蒂芬・史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法――一个无处稠密的完备集的例子。
康托尔集_康托尔集 -引入
通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法――一个无处稠密的完备集的例子。
实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。
康托尔集_康托尔集 -康托三分集
取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后
边长r=(1/3)^n，
边数N(r)=2^n，
根据公式D=lnN(r)/ln(1/r),D=ln2/ln3=0.631。
所以康托尔点集分数维是0.631。
康托尔集_康托尔集 -性质特点
康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
康托三分集具有
（1）自相似性；
（2）精细结构；
（3）无穷操作或迭代过程；
（4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。
（5）长度为零；
（6）简单与复杂的统一。
康托尔集P具有三条性质：
1、P是完备集。
2、P没有内点。
3、P的基数为c。
康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。
