怎样将循环小数化分数 无限循环小数化分数

无限循环小数是有理数,既然是有理数就可以化成分数。
循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。
混循环小数可以*10^n(n为小数点后非循环位数),所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。
方法1.无限循环小数,先找其循环节(即循环的那几位数字),然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如:0.333333……
循环节为3
则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……
前n项和为:30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)
当n趋向无穷时(0.1)^(n)=0
因此0.3333……=0.3/0.9=1/3
注意:m^n的意义为m的n次方。
方法2:
无限循环小数化分数可分为两类情况,纯循环小数,混循环小数
(1)纯小数纯循环小数:举的例子:0.1111…… 1的循环,我们可以设此小数为x,可得:
10x-x=1.1111……-0.1111……
9x=1
X=1/9
为了公式化,我们可以这样表示:
x·10∧b-x ,其中b是循环节的位数。这适合所有纯循环小数
(2)混循环小数:举的例子:0.12111…… 1的循环,同样,我们设此小数为x,可得:
1000x-100x=121.111……-12.111……
900x=109
X=109/900
它的公式是:
X·10∧(a+c)-x·10∧a,这里的a是小数点后的循环节前的数字的位数,c代表循环节位数。
带小数也适用!!
(3)讨论造成的差异
纯循环小数和混循环小数在化分数时公式存在差异,但理论上X·10∧(a+c)-x·10∧a适用于全部循环小数。
一题多解:将无限循环小数化成分数或者整数的有效方法,根据小数与分数的性质、任意无限循环小数均有一个分数与其相对应,因此,将已知无限循环小数对应着的“未知分数”设为X, 无须用等比数列极限求前n项和的方法,然后求方程的解,其方程的解(答案)是完全正确的:
例一:将无限循环小数0.123(·)化成分数:
解题:已知无限循环小数:0.123(·),将已知无限循环小数0.123(·)的未知分数设为X,
∴X=0.123(·)――1式,(1式)两边同时乘以10得:
10X=1.23(·)――2式,(2式)-(1式)得:9X=1.11,X =1.11/9,
X =0.37/3,X =37/300,∴X=0.123(·)=37/300,即:0.123(·)=37/300
例二:将无限循环小数0.9(·)化成分数(整数):
解题:已知无限循环小数0.9(·),将已知无限循环小数0.9(·)的未知分数设为X,
即0.9(·)= X――1式,令10X=10(0.9+0.09(·)),10X=9+0.9(·) ――2式,
将(2式)中的无限循环小数0.9(·)更换为X得:10X=9+X, 10X-X=9,
9X=9,X=9/9,X=1/1,X=1,∴X=0.9(·)=1,即:0.9(·)=1
例三:将无限循环小数0.26(··)化成分数:
解题:已知无限循环小数0.26(··),将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X,
即0.26(··) =X――1式,令100X=100(0.26+0.0026(··)),100X=26+0.26(··)――2式,
将(2式)中的无限循环小数0.26(··)更换为X得:100x=26+X,
100X-X=26,99X= 26,X=26/99,∴X=0.26(··)=26/99,即:0.26(··)=26/99
怎样将循环小数化分数 无限循环小数化分数
例四:将无限循环小数0.123(··)化成分数:
解题:已知无限循环小数0.123(··),将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X,
即0.123(··)= X ――1式,令1000X=1000(0.123+0.000123(··)),
1000X=123+0.123(··)――2式,将(2式)中的无限循环小数0.123(··)更换为X得:
1000X=123+X,1000X-X=123, 999 X=123,X=123/999,X=41/333,
∴X=0.123(··)=41/333,即:0.123(··)=41/333
例五:将无限循环小数0.128(··)化成分数:
解题:已知无限循环小数0.128(··),将已知无限循环小数0.128(··)的未知分数设为X,
即0. 128(··)= X――1式,令1000X=1000(0.128+0.000128(··)),
1000X=128+0.128(··)――2式,将(2式)中的无限循环小数0. 128(··)更换为X得:
1000X=128+X,1000X-X=128, 999 X=128,X=128/999,
∴X=0.128(··)=128/999,即:0.128(··)=128/999
归纳一下,通过上述证明我们得知令10X、100X、1000X等等,并非任意的,毫无目的,而是有针对性,需要区别对待,不过恰恰有规律可循,要根据小数循环节的数字来定,如果循环节是1位数字乘以10,如果循环节是2位数字乘以10,如果循环节是3位数字乘以10,等等以此类推如果循环节有n个数字需要乘以10^n次方,目的是为了消除无限循环小数的无限循环节,…;因为无限不循环小数(无理数)无公度比,因此无限不循环小数(无理数)不能化成分数形式、即不能表达为n/m的形式,…。(作者:奇东)
#用归纳方法把有限小数与无限循环小数化成分数:
如何把循环小数(纯循环小数、混循环小数、)有限小数、带小数化成分数:
1、有感于小数0.126与0.  

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