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对勾函数，形如f(x)=ax+b/x（a>0），是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。在正规的数学书上是没有这个“对勾函数”的。在比较严格的、科学的解析几何学里，这是一个以直线y=kx、x=0为渐近线的双曲线y=x+k/x。用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。
对号函数_对勾函数 -性质
图像
虚线为渐近线对勾函数：图像，性质，单调性对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线，y=x。
最值
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）时，f(x)取最小值。奇偶性
双勾函数是奇函数。单调性
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=ssqrt(b/a）qrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）令k=sqrt(b/a），那么：
增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；
减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线
对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。对号函数_对勾函数 -均值不等式
对勾函数
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。
现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。对号函数_对勾函数 -导数求解
其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。
另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。
由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。
对号函数_对勾函数 -其它解法
面对这个函数f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：
⑴它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；
⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；
⑶众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。
因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。能否与均值有关系。
对号函数_对勾函数 -高考例题
对勾函数的图像和性质2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数y=x+a/x有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,√a]上是减函数，在，[√a,+∞）上是增函数．⑴如果函数y=x+（2^b)/x（x>0）的值域为[6,+∞），求b的值；
⑵研究函数y=x^2+c/x^2（常数c>0）在定义域内的单调性，并说明理由；
⑶对函数y=x+a/x和y=x^2+a/x^2（常数a>0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)=(x^2+1/x)^n+（1/x^2+x)^n（x是正整数）在区间[?,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）
≤K}>当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值
f(x)=x+1/x
首先你要知道他的定义域是x不等于0
当x>0,
由均值不等式有：
f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2
当x=1/x取等
x=1，有最小值是：2，没有最大值。
当x<0,-x>0
f(x)=-(-x-1/x)
<=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1，有最大值，没有最小值。
值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0）在x>0上的单调性设x1>x2且x1，x2∈（0，+∝）则f(x1）-f(x2）=(ax1+b/x1）-（ax2+b/x2）=a（x1-x2）-b（x1-x2）/x1x2=（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2因为x1>x2，则x1-x2>0当x∈（0，√（b/a））时，x1x2<0，即x∈（0，√（b/a））时，f(x)=ax+b/x单调递减；当x∈（√（b/a），+∞）时，x1x2>b/a则ax1x2-b>b-b=0所以f(x1）-f(x2）>0，即x∈（√（b/a），+∞）时，f(x)=ax+b/x单调递增。=0>≤K}>
对号函数_对勾函数 -重点
其实对勾函数的一般形式是：f(x)=x+a/x(a>0)
定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）
值域为（-∞，-2√ab）∪（2√ab,+∞）
当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a
当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：
设x1，则F(X1）-F(X2）=X1+A>=0>≤K}>下面分情况讨论
⑴当x1<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）
⑵当-根号a<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数
⑶当0<；根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数
⑷当根号a<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。
