名词的种类 正多面体 正多面体-名词简介,正多面体-正多面体种类个数推导证

所谓正多面体,是指多面体的各个面都是全等的正多边形,并且各个多面角都是全等的多面角。例如,正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形,每个顶点有一个三面角,共有四个三面角,可以完全重合,也就是说它们是全等的。多面体可以有无数,但正多面体只有正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究,并将研究成果拿给柏拉顿学校教授。,那么得到的是正八面体;如果原来是正八面体,那么得到的是正六面体.把这一性质称为正六面体与正八面体对偶。

正多面体_正多面体 -名词简介

正多面体的种数很少。多面体可以有无数,但正多面体只有正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中面数最少的是正四面体,面数最多的是正二十面体。有些化学物质的结晶体呈正多面体的形状,如食盐的结晶体是正六面体,明矾的结晶体是正八面体。


正多面体

古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究,并将研究成果拿给柏拉顿学校教授。故而,西方数学界也将这五种正多面

体称为柏拉顿立体。

类型面数棱数顶点数每面边数每顶点棱数正4面体46433正6面体612843正8面体812634正12面体12302053正20面体20301235

正多面体_正多面体 -正多面体种类个数推导证明

代数几何法

顶点数V,面数F,棱数E

设正多面体的每个面是正n边形,每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半(每两面共用一条棱),即

nF=2E -------------- ①


正多面体

同时,E应是顶点数V与m的积的一半,即

mV=2E -------------- ②

由①、②,得

F=2E/n, V=2E/m,

代入欧拉公式V+F-E=2,

2E/m+2E/n-E=2

整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整数,所以1/E>0。因此

1/m+1/n>1/2 -------------- ③


正多面体

说明m,n不能同时大于3,否则1/m+1/n

③不成立。另一方面,因为多边形至少有三边(n≥3),而在每顶角处也至少有三边(m≥3)。

但n>3,且r>3又是不可能的,因为那样就要有

名词的种类 正多面体 正多面体-名词简介,正多面体-正多面体种类个数推导证

1/m+1/n

故m和n中至少有一个等于3

当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5

同理n=3,m也只能是3,4,5

所以有以下几种情况:

n=3,m=3 正四面体


正多面体

n=4,m= 3 正六面体

n=3,m=4 正八面体

n=5,m=3 正十二面体

n=3,m=5 正二十面体

几何法

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种


正多面体

相同表面积的四面体、六面体、正十二面体、以及正二十面体,其中体积最大的是:正二十面体。

或者这么证明:

假设每个顶点由m个正n边形组成,由于每个顶点的角度必须小于360度,否则就成了平面了,可得:

m*(1-2/n)*180

正多面体_正多面体 -名词对偶性


正多面体

把一个正多面体每个面的中心连起来,可以得到一个新的多面体。这称为正多面体的对偶性。如果原来是正六面体

,那么得到的是正八面体;如果原来是正八面体,那么得到的是正六面体.把这一性质称为正六面体与正八面体对偶。正十二面体与正二十面体对偶。而正四面体则与自己对偶。

正多面体_正多面体 -名词公式

其中sqrt(x)表示x的算术平方根。

各多面体的体积如下:

V4=sqrt(2)/12*a^3

V6=a^3

V8=sqrt(2)/3*a^3

V12=(15+7sqrt(5))/4*a^3

V20=(15+5sqrt(5))/12*a^3

各多面体的表面积如下:

S4=sqrt(3)*a^2

S6=6*a^2

S8=2sqrt(3)*a^2

S12=(5sqrt(25+10sqrt(5))/4*a^2

S20=5sqrt(3)*a^2

  

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