数轴标根法,数学专业词汇,是高次不等式的简单解法。又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
数轴标根法_数轴标根法 -名称简介
图1“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” ,是高次不等式的简单解法。
为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法”。
数轴标根法_数轴标根法 -步骤
第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证x前的系数为正数)
例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。
第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步:观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过,即奇过偶不过。
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得:-1 1 2
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿跟线以内的范围。即:-1<x<1或x>2。
数轴标根法_数轴标根法 -奇过偶不过
就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时,如(x^2)或(x^4)时,穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项,就要穿过0点了。还有一种情况就是例如:(X-1)^2.当不等式里出现这种部分时,线是不穿过1点的。但是对于如(X-1)^3的式子,穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过,偶弹回”。(为(X-1)^2)
数轴标根法_数轴标根法 -注意事项
运用序轴标根法解不等式时,常犯以下的错误:
1. 出现形如(a-x)的一次因式时,匆忙地“穿针引线”。
例1 解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>0。
解 x(3-x)(x+1)(x-2)>0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1可得原不等式的解集为{x|x<-1或0<x<2或x>3}。
事实上,只有将因式(a-x)变为(x-a)的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是:
解 原不等式变形为x(x-3)(x+1)(x-2)<0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,原不等式的解集为{x|-1<x<0或2<x<3}。
2. 出现重根时,机械地“穿针引线”
例2 解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^3<0
解 将三个根-1、1、4标在数轴上,得,原不等式的解集为{x|x<-1或1<x<4}。
这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时,所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴,仍在数轴的同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴,正确的解法如下:
解 将三个根-1、1、4标在数轴上,画出浪线图来穿过各根对应点,遇到x=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;遇到x=4的点才穿过数轴,于是,可得到不等式的解集{x|-1<x<4且x≠1}
3. 出现不能再分解的二次因式时,简单地放弃“穿针引线”
例3 解不等式x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0
解 原不等式变形为x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积,事实上,根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解 原不等式等价于
x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,
∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立,
∴ x(x-1)(x+1)(x-2)>0,由图4可得原不等式的解集为{x|x<-1或0<x<1或x>2}
数轴标根法_数轴标根法 -本文来源
源自发表于甘肃省数学学会西北师大分会主办的《数学教学研究》1998年第1期