booth算法 Booth算法 Booth算法-基本内容

比较好的带符号数乘法的方法是布斯(Booth)算法。它采用相加和相减的操作计算补码数据的乘积。Booth算法对乘数从低位开始判断,根据两个数据位的情况决定进行加法、减法还是仅仅移位操作。判断的两个数据位为当前位及其右边的位(初始时需要增加一个辅助位0),移位操作是向右移动。

booth_Booth算法 -基本内容


Booth算法

在上例中,第一次判断被乘数0110中的最低位0以及右边的位(辅助位0),得00;所以只进行移位操作;第二次判断0110中的低两位,得10,所以作减法操作并移位,这个减法操作相当于减去2a的值;第三次判断被乘数的中间两位,得11,于是只作移位操作;第四次判断0110中的最高两位,得01,于是作加法操作和移位,这个加法相当于加上8a的值,因为a的值已经左移了三次。

一般而言,设y=y0,yly2…yn为被乘数,x为乘数,yi是a中的第i位(当前位)。根据yj与yi+1的值,Booth算法表示如下表所示,其操作流程如下图所示。在Booth算法中,操作的方式取决于表达式(yi+1-yi)的值,这个表达式的值所代表的操作为:

0 无操作

+1 加x

-1 减x

Booth算法操作表示

yi yi+1 操作 说明

0 0 无 处于0串中,不需要操作

0 1 加x 1串的结尾

1 0 减x 1串的开始

1 1 无 处于1串中,不需要操作

乘法过程中,被乘数相对于乘积的左移操作可表示为乘以2,每次循环中的运算可表示为对于x(yi+1-yi)2^31-i项的加法运算(i=3l,30,…,1,0)。这样,Booth算法所计算的结果 可表示为:

x×(0-y31)×2^0

+x×(y31-y30)×2^1

+x×(y30-y29)×2^2

+x×(y1-y0)×2^31

=x×(-y0×231 +y1×2^30 +y2×2^29+y31×2^0)

=x×y

例:用Booth算法计算2×(-3)。

解:补=0010, [-3]补=1101,在乘法开始之前,R0和R1中的初始值为0000和1101,R2中的值为0010。

在乘法的第一个循环中,判断R1的最低位和辅助位为10,所以进入步骤1c,将R0的值减去R2的值,结果1110送人R0,然后进入第二步,将R0和Rl右移一位,R0和R1的结果为11110110,辅助位为l。

在第二个循环中,首先判断Rl的最低位和辅助位为0l,所以进入步骤1b,作加法,R0+R2=1111+0010,结果0001送入R0,这时R0R1的内容为0001 0110,在第二步右移后变为0000 1011,辅助位为0。

在第三次循环中,判断位为10,进入步骤lc,R0减去R2,结果1110送入R0,R1不变;步骤2移位后R0和R1的内容为1111 01011,辅助位为1。

第四次循环时,因两个判断位为11,所以不作加减运算,向右移位后的结果为1111 1010,这就是运算结果(―6)。

这个乘法的过程描述如下表所示,表中乘积一栏表示的是R0、R1的内容以及一个辅助位P,黑体字表示对两个判断位的判断。

用Booth补码一位乘法计算2 ×(-3)的过程

循环

步骤

乘积(R0,R1, P)

0

初始值

0000 1101 0

第一次循环

1c:减0010

1110 1101 0

2:右移1位

1111 0110 1

第二次循环

1b:加0010

0001 0110 1

2:右移1位

0000 1011 0

第三次循环

1c:减0010

1110 1011 0

2:右移1位

1111 0101 1

第四次循环

1a:无操作

1111 0101 1

2:右移1位

1111 1010 1

4.补码两位乘

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补码两位乘运算规则是根据补码一位乘的规则,把比较yiyi+1的状态应执行的操作和比较yi-1yi 的状态应执行的操作合并成一步,便可得出补码两位乘的运算方法。

补码两位乘法运算规则如下

判断位yi-1y iyi+1

操作内容

000

[zi+1]补=2-2[zi]补

001

[zi+1]补=2-2{[zi]补+[x]补}

010

[zi+1]补=2-2{[zi]补+[x]补}

011

[zi+1]补=2-2{[zi]补+2[x]补}

100

[zi+1]补=2-2{[zi]补+2[-x]补}

101

[zi+1]补=2-2{[zi]补+ [-x]补}

110

[zi+1]补=2-2{[zi]补+-x}补}

111

[zi+1]补=2-2[zi]补

由上表可见,操作中出现加2[x]补和加2[-x]补,故除右移两位的操作外,还有被乘数左移一位的操作;而加2[x]补和加2[-x]补,都可能因溢出而侵占双符号位,故部分积和被乘数采用三位符号位。

例:[x]补=0.0101,[y]补=1.0101 求: [x・ y]补。

解:求解过程如下表所示。其中乘数取两位符号位即11.0101,[-x]补=1.1011取三符号位为111.1011。

部分积

乘数

说 明

000.0000

+ 000.0101

1101010

判断位为010,加[x]补

000.0101

000.0001

+ 000.0101

0111010

→2位

判断位为010,加[x]补

000.0110

000.0001

+ 111.1011

01

1001110

→2位

判断位为110,加[-x]补

111.1100

1001

最后一步不移位,得[x・ y]补

故[x・ y]补=1.11001001

可见,与补码一位乘相比,补码两位乘的部分积多取一位符号位(共3位),乘数也多取一位符号位(共2位),这是由于乘数每次右移2位,且用3位判断,故采用双符号位更便于硬件实现。可见,当乘数数值位为偶数时,乘数取2位符号位,共需作n/2次移位,最多作n/2+1次加法,最后一步不移位;当n为奇数时,可补0变为偶数位,以简化逻辑操作。也可对乘数取1位符号位,此时共作n/2+1次加法和n/2+1次移位(最后一步移一位)。

对于整数补码乘法,其过程与小数乘法完全相同。为了区别于小数乘法,在书写上可将符号位和数值位中间的“.”改为“,”即可。

再补充一道例子,增加一下理解。呵呵

例1.37 设被乘数M=0111(7),乘数Q=0011(3),相乘过程如下:(其中的①②……是我自己加上去的)

A Q Q-1

①00000011 0 初始值

②1001 00110 A=A-M

③110010011右移(第1次循环)

④111001001右移(第2次循环)

⑤010101001A=A+M

⑥001010100右移(第3次循环)

⑦000101010右移(第4次循环)

乘法运算结束后,所得结果共8位,A寄存器中是乘积的高位部分,Q寄存器中是乘积的低位部分,即乘积=0010101=(21)(十进制)

例1.38设被乘数M=0111(7),乘数Q=1101(-3),相乘过程如下:

A QQ-1

000011010初始值

100111010A=A-M

110011101右移(第1次循环)

001111101A=A+M

000111110右移(第2次循环)

101011110A=A-M

110101111右移(第3次循环)

111010111右移(第4次循环)

乘积=11101011=(-21)(十进制)

其中的移位是循环移位.

被乘数n位要移位3次.

  

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