奇函数的图象关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。⑴如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。⑷如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
奇偶性_奇偶性 -定义
一般地,对于函数f(x)
⑴如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
⑵如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
⑶如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。
变式:奇:f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x)=-f^2(x); f(x)/f(-x)=-1.
偶:f(x)-f(-x)=0; f(x)*f(-x)=f^2(x); f(x)/f(-x)=1.
奇偶性_奇偶性 -图像特征
定理:奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y轴对称。
推论:如果对于任一个x,都有f(a+x)+f(b-x)=c,那么函数图像关于(a/2+b/2,c/2)中心对称;
如果对于任意一个x,有f(a+x)=f(a-x),那么函数图像关于x=a轴对称。
奇函数的图像关于原点对称
点(x,y)→(-x,-y)
偶函数的图像关于y轴对称
点(x,y)→(-x,y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
奇偶性_奇偶性 -运算
⑴ 两个偶函数相加所得的和为偶函数。
⑵ 两个奇函数相加所得的和为奇函数。
⑶ 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
⑷ 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
⑸一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
⑹几个函数复合,只要有一个是偶函数,结果是偶函数;若无偶函数则是奇函数。
⑺偶函数的和差积商是偶函数。
⑻奇函数的和差是奇函数。
⑼奇函数的偶数个积商是偶函数。
⑽奇函数的奇数个积商是奇函数。
⑾奇函数的绝对值为偶函数。
⑿偶函数的绝对值为偶函数。
奇偶性_奇偶性 -判断单调
偶函数在对称区间上的单调性是相反的。
奇函数在整个定义域上的单调性一致。
奇偶性_奇偶性 -奇偶数
一个数满足xmod2=1,那么它是奇数;
一个数满足xmod2=0,那么它是偶数。
注:mod 是余数的意思。 例如:m=xmod2 ,x=7的话,m=1