切比雪夫多项式性质 切比雪夫多项式

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关,以递归方式定义的一系列正交多项式序列。

切比雪夫多项式性质 切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关,以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常,第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示, 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。


切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根(被称为切比雪夫节点)可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象,并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。


在微分方程的研究中,数学家提出切比雪夫微分方程











基本性质





对每个非负整数n, Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶(奇)数时,它们是关于x 的偶(奇)函数, 在写成关于x的多项式时只有偶(奇)次项。


按切比雪夫多项式的展开式


一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下:


多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw 递推公式计算。


第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定





也可以用母函数表示





第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出





此时母函数为



  

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