闵可夫斯基不等式 闵可夫斯基不等式 闵可夫斯基不等式-概述,闵可夫斯基不等式-积

闵可夫斯基不等式(Minkowski inequality)是数学术语之一,表明Lp空间是一个赋范向量空间。

闵可夫斯基_闵可夫斯基不等式 -概述

在数学中,闵可夫斯基不等式(Minkowski inequality)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设S是一个度量空间,,那么,我们有:

如果,等号成立当且仅当,或者g = kf

闵可夫斯基不等式是Lp(S)中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式:

对所有实数,这里n是S的维数;改成复数同样成立,没有任何难处。

值得指出的是,如果,p < 1,则可以变为。

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闵可夫斯基_闵可夫斯基不等式 -积分形式的证明

我们考虑的p次幂:

(用三角形不等式展开 |f(x) +g(x) | )

(用 赫尔德不等式)

(利用p=qp&#8722;q,因为)

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项,除以最后那个表达式的后面那个因子,我们得到:

因为,我们最终得出:

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况,证明是完全类似的。

  

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