组合计算公式举例说明 组合数公式 组合数公式-算法举例

组合数公式是指从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(n,m) 表示。

组合数公式_组合数公式 -算法举例

有朋友给出了两道题:

1、设15000件产品中有1000件次品,从中拿出150件,求得到次品数的期望和方差?

2、设某射手对同一目标射击,直到射中R次为止,记X为使用的射击次数,已知命中率为P,求E(X)、D(X)。

这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式,证明过程中提供变换技巧,然后把这两个题目作为例题。

先定义一个符号,用S(K=1,N)F(K)表示函数F(K)从K=1到K=N求和。

公式1:

C(M-1,N-1)+C(M-1,N)=C(M,N)

公式1 证明:

方法1、可直接利用组合数的公式证明。

方法2、(更重要的思路)。

从M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中,包含这一个元素的有C(M-1,N-1)种组合,不包含这一个元素的有C(M-1,N)种组合。

因此,C(M-1,N-1)+C(M-1,N)=C(M,N)

公式2:

S(K=N,M)C(K-1,N-1)=C(M,N) (M》=N)

证明:C(M,N)是从M个物品中任选N个的方法。

从M个物品中任意指定M-N个,并按次序编号为第1到第M-N号,而其余的还有N个。

则选出N个的方法可分类为:

包含1号的有C(M-1,N-1)种;

不包含1号,但包含2号的有C(M-2,N-1)种;

。。。。。。

组合计算公式举例说明 组合数公式 组合数公式-算法举例

不包含1到M-K号,但包含M-K+1号的有C(K-1,N-1)种

。。。。。。

不包含1到M-N-1号,但包含M-N号的有C(N,N-1)种不包含1到M-N号的有C(N,N)种,而C(N,N)=C(N-1,N-1)

由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法,因此

S(K=N,M)C(K-1,N-1)=C(M,N)

公式3:

S(K=0,N)C(P,K)*C(Q,N-K)=C(P+Q,N) (P,Q)=N)

证明:一批产品包含P件正品和Q件次品,则从这批产品中任选N件的选法为C(P+Q,N)。而公式里面的K表示选法中正品数量,

C(P,K)*C(Q,N-K)表示N件产品中有K件正品,N-K件次品的选法。K从0到N变化时,就包含了所有不同正品、次品数的组合。

因此,S(K=0,N)C(P,K)*C(Q,N-K)=C(P+Q,N)

公式4(一种变换技巧):

S(K=0,N)K*C(M,K)=S(K=0,N-1)M*C(M-1,K)

证明:

S(K=0,N)K*C(M,K)

=S(K=1,N)K*C(M,K)

=S(K=1,N)K*M!/K!/(M-K)!

=S(K=1,N)M*(M-1)!/(K-1)!/(M-K)!

=S(K=1,N)M*C(M-1,K-1)

=S(K=0,N-1)M*C(M-1,K)

公式5(公式4的同种)

S(K=0,N)K*(K-1)*C(M,K)

=S(K=0,N-2)M*(M-1)*C(M-2,K)

证明:(类似上式)

S(K=0,N)K*(K-1)*C(M,K)

=S(K=2,N)K*(K-1)*M!/K!/(M-K)!

=S(K=2,N)M*(M-1)*(M-2)!/(K-2)!/(M-K)!

=S(K=2,N)M*(M-1)*C(M-2,K-2)

=S(K=0,N-2)M*(M-1)*C(M-2,K)

公式4用于求数学期望,公式4、公式5结合起来可用于求方差。

例1、设15000件产品中有1000件次品,从中拿出150件,求得到次品数的期望和方差?

解:(本题利用公式3、4、5)

有K件次品的概率为:

P(K)=C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)

E(X)

=S(K=0,150)K*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)

=S(K=0,149)1000*C(999,K)*(14000,149-K)/C(15000,150)

=1000*C(14999,149)/C(15000,150)

=10

D(X)

=S(K=0,150)(K-10)*(K-10)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)

=S(K=0,150)(K*K-K-19*K+100)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)

=S(K=0,150)K*(K-1)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)

-19*S(K=0,150)K*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)

+100*S(K=0,150)C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)

=S(K=0,148)1000*999*C(998,K)*C(14000,148-K)/C(15000,150)

-19*S(K=0,149)*1000*C(999,K)*C(14000,149-K)/C(15000,150)

+100*S(K=0,150)C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)

=1000*999*C(14998,148)/C(15000,150)

-19*1000*C(14999,149)/C(15000,150)+100

=138600/14999

=9.240616041

此题推广形式为:

设M件产品中有P件次品,从中拿出N件(N《=P),求得到次品数的期望和方差?

E(X)=P*N/M

D(X)=P*(P-1)*C(M-2,N-2)/C(M,N)

+(1-2*P*N/M)*P*C(M-2,N-2)/C(M,N)+(P*N/M)^2

例2、设某射手对同一目标射击,直到射中R次为止,记X为使用的射击次数,已知命中率为P,求E(X)、D(X)。

解:射中R次,使用的射击次数为K次(K>=R),则前K-1次射中R-1次,第K次射中了,概率为:

P(K)=C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

(以下暂时用W表示无穷大)

射中R次,使用的射击次数可为R次、R+1次...W次

因此S(K=R,W)P(K)=1 (这是概率的特点)

即:S(K=R,W)C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=1

以上证明的式子是另一个公式,即无论P,R是什么数都成立,以下将应用这一公式。

E(X)

=S(K=R,W)K*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R,W)K*(K-1)!/(R-1)!/(K-R)!*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R,W)R*K!/R!/(K-R)!*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R,W)R*C(K,R)*P^R*(1-P)^(K-R)

=R/P*S(K=R,W)C(K,R)*P^(R+1)*(1-P)^(K-R)

令K1=K+1,R1=R+1,则

E(X)=R/P*S(K1=R1,W)C(K1-1,R1-1)*P^R1*(1-P)^(K1-R1)

利用以上公式得

E(X)=P/R

D(X)

=S(K=R,W)(K-R/P)^2*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R,W)(K*K-2*K*R/P+R*R/P/P)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R,W)[K*(K+1)-(K+2*K*R/P)+R*R/P/P]*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=S(K=R,W)[K*(K+1)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

-S(K=R,W)(K+2*K*R/P)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

+S(K=R,W)R*R/P/P*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)

=(推导过程同求E(X),略)

=R(R+1)/P/P-(2*R+P)*R/P/P+R*R/P/P

=(1-P)*R/P/P

  

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