爱华网本文主要介绍了立方和公式的字母表达，语言表达，公式延伸，公式证明，几何验证等立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍。
立方公式_立方和公式 -字母表达
立方和公式：a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)
a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)
a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²)
3项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
推导过程：
a³+b³+c³-3abc
=(a³+3a² b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a² b+3ab²)
=[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(ab+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
立方公式_立方和公式 -文字表达
立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）
3项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍
立方公式_立方和公式 -公式延伸
正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2
立方公式_立方和公式 -公式证明
1迭代法：
我们知道：
0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6――平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。
取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出：
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
...................
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)
.
于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式代入
4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
大功告成！
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
2. 因式分解思想证明如下：a^3+b^3=a^3+a^2*b+b^3-a^2*b
=a^2(a+b)-b(a^2-b^2)=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)
一般而言，任取一自然数N，他的因数有1，n1,n2,n3,……，nk,N，这些因数的因数个数分别为1，m1,m2,m3,……,mk,k+2,则
1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2)^3
=(1+m1+m2+m3+……+mk+k+2）^2
我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p，因数的个数只有1和2，所以成立。
合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。
比如120，有因数
1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它们的因数个数为
1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6，8，8，8，12，16，
1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100
（1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16）^2=8100
立方公式_立方和公式 -几何验证
图象化立方和公式透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：
x^3+y^3
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
(x+y)^3
要得到x^3+y^3，可使用(x+y)^3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：
・x×y×(x+y)
・x×(x+y)×y
・(x+y)×x×y
把三个部分加在一起，便得：
=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)
=3xy(x+y)
之后，把(x+y)^3减去它，便得：=(x+y)^3-3xy(x+y)公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：
=(x+y)[(x+y)^2-3xy]
(x+y)^2可透过和平方公式，得到：
=(x+y)(x^2+ 2xy+y^2-3xy)
=(x+y)(x^2−xy+y^2)
这样便可证明：x^3+y^3=(x+y)(x^2 −xy+y^2)
