正定矩阵的性质 正定矩阵 正定矩阵-基本定义,正定矩阵-特征及性质

正定矩阵是数学计算的一种,正定矩阵在相似变换下可化为标准型,即单位矩阵。计算方式设M是n阶实系数对称矩阵,如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n)都有XMX^t>0,就称M正定。在代数中,正定矩阵(英文:positive definite matrix)有时会简称为正定阵。在双线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(复域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。一个n×n的实对称矩阵M是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz>0。其中zT表示z的转置。对于复数的情况,定义则为:一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z,都有z*Mz>0。其中z*表示z的共轭转置。由于M是埃尔米特矩阵,经计算可知,对于任意的复向量z,z*Mz必然是实数,从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

正定矩阵_正定矩阵 -基本定义

广义定义


正定矩阵

设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有z'Mz>0,其中z'表示z的转置,就称M正定矩阵。

例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。aE+B在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)

狭义定义

一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有z’Mz>0。其中z'’表示z的转置。

正定矩阵_正定矩阵 -特征及性质

正定矩阵在合同变换下可化为标准型, 即对角矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵。

判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。

判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是:A合同于单位阵。

正定矩阵的性质:

1.正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义:若n阶矩阵A为奇异阵,则其的行列式为零,即 |A|=0。

2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

正定矩阵的性质 正定矩阵 正定矩阵-基本定义,正定矩阵-特征及性质

3.若A为n阶对称正定矩阵,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基(Cholesky)分解。

4.若A为n阶正定矩阵,则A为n阶可逆矩阵。

  

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