矩阵定义和基本性质 矩阵乘法 矩阵乘法-基本定义,矩阵乘法-基本性质

矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log(n ),还可以求路径方案等,所以更是一种应用性极强的算法。矩阵,是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起,所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵乘法看起来很奇怪,但实际上非常有用,应用也十分广泛。一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵,得到的结果是一个n行p列的矩阵,其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。

矩阵乘法_矩阵乘法 -基本定义

只有当矩阵 A的列数与矩阵 B的行数相等时 A× B才有意义。一个 m× n的矩阵 a(m, n)左乘一个 n× p的矩阵 b(n, p),会得到一个 m× p的矩阵 c(m, p),满足

矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律

一般的矩乘要结合快速幂才有效果。(基本上所有矩阵乘法都要用到快速幂的)

在计算机中,一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵,得到的结果是一个n行p列的矩阵,其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如,下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵,其结果是一个2行3列的矩阵。其中,结果的那个4等于2*2+0*1:

矩阵乘法的c语言程序:

#include

float main()

{

float a,b,c;//定义三个数组,分别存储矩阵A,B,C

int m1,n1,m2,n2,i1,j1,i2,j2,i3,j3,i4,j4,k;

float s={0};//赋值使数组s元素初值全部为零

printf("请输入矩阵A行数m1,列数n1:");//输入矩阵A行数,列数

scanf("%d,%d",&m1,&n1);

printf("请输入矩阵B行数m2,列数n2:");//输入矩阵B行数,列数

scanf("%d,%d",&m2,&n2);

printf("nn");//如果不可以相乘,下面将出现判断,在此换行,便于观看

if(n1!=m2)

printf("不可以相乘!!!");//判断是否可以相乘

printf("nn");

if((m1>100)||(n1>100))

printf("数目过多!!!");//控制矩阵A元素数量在数组容纳范围内

else

{

for(i1=1;i1

{

for(j1=1;j1

{

printf("a[%d][%d]=:",i1,j1);

scanf("%f",&a[i1][j1]);//输入矩阵A元素

}

}

}

printf("n");//分隔开A,B的元素输入,便于观看

if((m2>100)||(n2>100))

printf("数目过多!!!");

else

{

for(i2=1;i2

{

for(j2=1;j2

{

printf("b[%d][%d]=:",i2,j2);

scanf("%f",&b[i2][j2]);//输入矩阵B元素

}

}

}

printf("矩阵A:n");//输出矩阵A,便于观看,检验

for(i3=1;i3

{

for(j3=1;j3

{

printf("%f ",a[i3][j3]);

if(j3==n1)

printf("n");

}

}

printf("n");//与矩阵B的输出结果隔开,便于观看

printf("矩阵B:n");//输出矩阵A,便于观看,检验

for(i4=1;i4

{

for(j4=1;j4

{

printf("%f ",b[i4][j4]);

if(j4==n2)

printf("n");

}

}

printf("n");

printf("矩阵C=A*B:n");

for(i4=1;i4

{

for(j4=1;j4

{

for(k=1;k

{

s[i4][j4]=s[i4][j4]+a[i4][k]*b[k][j4];//定义矩阵乘法,相乘时,有一个指标是一样的,都用k

}

c[i4][j4]=s[i4][j4];//定义矩阵乘法

printf("%f ",c[i4][j4]);

if(j4==n2)

printf("n");//控制在列指标到达N时换行

}

}

return 0;

}


图片展示

程序运行结果示例: 一般矩乘的代码:function mul( a , b : Tmatrix ) : Tmatrix;

var

i,j,k : longint;

c : Tmatrix;

begin

fillchar( c , sizeof( c ) , 0 );

for k:=0 to n do

for i:=0 to m do

for j:=0 to p do

begin

inc( c[ i , j ] , a[ i , k ]*b[ k , j ] );

if c[ i , j ]>ra then c[ i , j ]:=c[ i , j ] mod ra;

end;

mul:=c;

矩阵定义和基本性质 矩阵乘法 矩阵乘法-基本定义,矩阵乘法-基本性质

end;

这里我们不介绍其它有关矩阵的知识,只介绍矩阵乘法和相关性质。


矩阵乘法

不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中,一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵,得到的结果是一个n行p列的矩阵,其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如,下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵,其结果是一个2行3列的矩阵。其中,结果的那个4等于2*2+0*1: 右面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵,得到一个1 x 2的矩阵:

矩阵乘法的两个重要性质: 一,矩阵乘法不满足交换律;二,矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢?因为交换后两个矩阵有可能不能相乘。为什么它又满足结合律呢?假设你有三个矩阵A、B、C,那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和(枚举所有的k和l)。

矩阵乘法_矩阵乘法 -基本性质

1.结合性 ( AB) C= A( BC).

2.对加法的分配性 ( A+ B) C= AC+ BC, C( A+ B)= CA+ CB .

3.对数乘的结合性 k( AB)=( kA) B = A( kB).

4.关于转置 (AB)'=B'A'.

矩阵乘法_矩阵乘法 -经典题目

给定n个点,m个操作,构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转

这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转(两种情况),旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟,那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵,然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置,总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y,下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来,再乘以(x,y,1),即可一步得出最终点的位置。

给定矩阵A,请快速计算出A^n(n个A相乘)的结果,输出的每个数都modp。

由于矩阵乘法具有结合律,因此A^4=A*A*A*A=(A*A)*(A*A)=A^2*A^2。我们可以得到这样的结论:当n为偶数时,A^n=A^(n/2)*A^(n/2);当n为奇数时,A^n=A^(n/2)*A^(n/2)*A(其中n/2取整)。这就告诉我们,计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如,为了算出A^25的值,我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果,我们可以在计算过程中不断取模,避免高精度运算。

POJ3233

题目大意:给定矩阵A,求A+A^2+A^3+...+A^k的结果(两个矩阵相加就是对应位置分别相加)。输出的数据modm。k

这道题两次二分,相当经典。首先我们知道,A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如,当k=6时,有:

A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=(A+A^2+A^3)+A^3*(A+A^2+A^3)

应用这个式子后,规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A+A^2+A^3,即可得到原问题的答案。

VOJ1049

题目大意:顺次给出m个置换,反复使用这m个置换对初始序列进行操作,问k次置换后的序列。m

首先将这m个置换“合并”起来(算出这m个置换的乘积),然后接下来我们需要执行这个置换k/m次(取整,若有余数则剩下几步模拟即可)。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如,将1234置换为3124,相当于下面的矩阵乘法:

置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方,再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴,得意之时就是你灭亡之日,别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。

《算法艺术与信息学竞赛》207页(2.1代数方法和模型,[例题5]细菌,版次不同可能页码有偏差)

大家自己去看看吧,书上讲得很详细。解题方法和上一题类似,都是用矩阵来表示操作,然后二分求最终状态。

给定n和p,求第n个Fibonacci数modp的值,n不超过2^31

根据前面的一些思路,现在我们需要构造一个2x2的矩阵,使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵,这两个数就会多迭代一次。那么,我们把这个2x2的矩阵自乘n次,再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想,这个2x2的矩阵很容易构造出来:

VOJ1067

我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项,其对应矩阵的构造方法为:在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1,矩阵第n行填对应的系数,其它地方都填0。例如,我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n)=4f(n-1)-3f(n-2)+2f(n-4)的第k项:

利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。

给定一个有向图,问从A点恰好走k步(允许重复经过边)到达B点的方案数modp的值

把给定的图转为邻接矩阵,即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A,那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j),实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数(枚举k为中转点)。类似地,C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理,如果要求经过k步的路径数,我们只需要二分求出A^k即可。


矩阵乘法
矩阵乘法
矩阵乘法经典题目9

用1x2的多米诺骨牌填满MxN的矩形有多少种方案,M

我们以M=3为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上,从右往左一列一列地进行填充。其中前n-2列已经填满了,第n-1列参差不齐。现在我们要做的事情是把第n-1列也填满,将状态转移到第n列上去。由于第n-1列的状态不一样(有8种不同的状态),因此我们需要分情况进行讨论。在图中,我把转移前8种不同的状态放在左边,转移后8种不同的状态放在右边,左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。注意为了保证方案不重复,状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌(例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态),否则这将与另一种转移前的状态重复。把这8种状态的转移关系画成一个有向图,那么问题就变成了这样:从状态111出发,恰好经过n步回到这个状态有多少种方案。比如,n=2时有3种方案,111->011->111、111->110->111和111->000->111,这与用多米诺骨牌复盖3x2矩形的方案一一对应。这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。

后面我写了一份此题的源代码。你可以再次看到位运算的相关应用。

经典题目10

POJ2778

题目大意是,检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。合法的DNA只能由ACTG四个字符构成。题目将给出10个以内的病毒片段,每个片段长度不超过10。数据规模n

下面的讲解中我们以ATC,AAA,GGC,CT这四个病毒片段为例,说明怎样像上面的题一样通过构图将问题转化为例题8。我们找出所有病毒片段的前缀,把n位DNA分为以下7类:以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?G结尾、以?C结尾和以?结尾。其中问号表示“其它情况”,它可以是任一字母,只要这个字母不会让它所在的串成为某个病毒的前缀。显然,这些分类是全集的一个划分(交集为空,并集为全集)。现在,假如我们已经知道了长度为n-1的各类DNA中符合要求的DNA个数,我们需要求出长度为n时各类DNA的个数。我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。例如,从AT不能转移到AA,从AT转移到?有4种方法(后面加任一字母),从?A转移到AA有1种方案(后面加个A),从?A转移到?有2种方案(后面加G或C),从GG到?有2种方案(后面加C将构成病毒片段,不合法,只能加A和T)等等。这个图的构造过程类似于用有限状态自动机做串匹配。然后,我们就把这个图转化成矩阵,让这个矩阵自乘n次即可。最后输出的是从?状态到所有其它状态的路径数总和。

矩阵乘法_矩阵乘法 -乘法算法

传统算法:

若依定义来计算A和B的乘积矩阵C,则每计算C的一个元素C[i][j],需要做n次乘法和n-1次加法。因此,算出矩阵C的个元素所需的计算时间为O(n3)

Strassen矩阵乘法:


矩阵乘法
矩阵乘法
矩阵乘法

T(n)=O(nlog7)=O(n2.81)时间复杂度有了较大改进!

目前最好的计算时间上界是O(n2.376)

  

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