爱华网伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在20世纪以前，解方程一直是代数的一个中心问题。大概在三千年以前，人们就基本上得到了现在教本中给出的二次方程的解的公式。
伽罗瓦_伽罗瓦理论 -伽罗瓦理论
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用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在20世纪以前，解方程一直是代数的一个中心问题。大概在三千年以前，人们就基本上得到了现在教本中给出的二次方程的解的公式。在当时的文献中，由于没有恰当的符号系统以及不能正确理解负数与复数的性质，不可能给出这样统一的、一般的公式：αx＋bx＋с＝0 的解x＝
。
至于三、四次方程的解法比二次方程的解法要晚得多。 直到1500年左右， 波仑亚的数学教授S.dal费罗(1456～1526)解出了xmx＝n类型的三次方程,但没有发表。后来N.塔尔塔利亚(他由于口吃,被称为tartaglia)在1535年表示他早已解出了xmx=n类型的方程,并同时解出了A.M.菲奥尔向他提出的30个三次方程，其中包括xmx=n这种类型。他的方法被G.卡尔达诺发表在他自己的著作中。在三次方程解出之后，G.卡尔达诺的学生L.费拉里几乎立即解出了四次方程。所谓解出三、四次方程,是指如同二次方程的求根公式一样,它们的根可以从方程的系数经过四则运算与开根(平方根或立方根)得到，或者说，给出了解的公式。实际上三次方程的解法是把它归结为相继解一个二次方程与一个二项的三次方程x=A；四次方程是归结为相继解一个三次方程与一个二次方程。由于这些方程的解的公式中只出现四则运算与根号，于是就说二、三、四次方程都是可以用根式解的。
从此之后，数学家就转向求解四次以上的方程。差不多经过二百多年的时间，有不少著名数学家，如L.欧拉、A.-T.范德蒙德、J.-L.拉格朗日和P.鲁菲尼等，都作了很大的努力，没有取得重要的进展。在代数地求解一般的n次方程的问题上,C.F.高斯对于二项方程x-1=0（其中p是素数）的研究具有重要意义。C.F.高斯证明了这个方程的根可用一系列方程?1＝0,?2＝0，…的根有理地表示出来，其中每个方程的系数都是它前面那些方程的根的有理函数，而每个方程?i=0都能用根式解出。因之，原来的方程也能用根式解出。
N.H.阿贝尔按照高斯对上述二项方程的处理方法来探讨高次方程的可能性问题，在1826年，他最终证明了，高于4次的一般方程不可能用根式求解。换句话说,对于高于4次的方程不可能有一个像二、 三、四次方程一样的根的一般公式。阿贝尔还考虑了一些特殊方程，他得出一类能够用根式解的方程，这类方程现在称为阿贝尔方程。在他的工作中。阿贝尔引入了域与在给定域中不可约的多项式的概念。阿贝尔然后企图刻画全部能用根式求解的方程的特性，但他过早的病死(1829)而没有能完成这个工作。E.伽罗瓦接过阿贝尔的工作，彻底地、完满地解决了，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论。
念，因而有人把伽罗瓦看成是近代抽象代数的创始人。 伽罗瓦是通过改进拉格朗日的思想去探讨可用根式求解的方程的特性的，和拉格朗日一样，他用了根的置换的概念。对于任意一个n次方程?(x)=xα1x…αn=0，考虑它的n个根x1,x2,…,xn的置换。大家知道，n个文字的全部置换有n!个,它们组成n阶对称群Sn。这个方程的系数α1,α2,…,αn的全部有理系数的有理分式组成一个域F，用现在的符号F=Q(α1,α2,…,αn),其中Q是有理数域。在根的置换中,那些保持以F的元素为系数的根的代数关系不变的置换组成Sn的一个子群，这个群现在就称为方程?(x)=0的伽罗瓦群。伽罗瓦的主要结论就是这个群刻画了所给方程的根的代数特性。当时虽然还没有抽象的群与域的名词，伽罗瓦确实用到了群与域这些概
以下用现代术语来叙述伽罗瓦理论。
首先简单地介绍一下有关代数扩张的几个概念（见域）。从任意一个域F出发,设?(x)是系数在F中的一个多项式,若?(x)的根不全在F中,则存在一个次数最低的有限扩张E/F使得?(x)在E内完全分解成一次因式的乘积，即?(x)的全部根都在E中,E就是?(x)在F上的分裂域。?(x)的根的代数性质就反映在它的分裂域的代数性质上。
如果F上的一个不可约多项式?(x)在它的分裂域中没有重根，那么?(x)就称为一个可分多项式。否则就称为不可分的。应该指出，在特征为零的域上，所有不可约多项式都是可分的，而不可分的情形只可能出现在特征为p＞0的域上。
设E是域F的一个扩域。若E中每个元素都是F中一个不可约多项式的根,则E就称为F上的一个代数扩张。可以证明，有限扩张一定是代数扩张。如果代数扩张E的每个元素都是F中一个可分多项式的根,那么E就称为F上一可分扩张。设E是F上一代数扩张。如果E具有以下性质：只要F的不可约多项式?(x)在E中有一个根,?(x)的根就全部在E中,那么E就称为F上的一个正规扩张。可以证明，域F的一个有限扩张是正规的,当且仅当它是F中一个多项式的分裂域。
设E是F上的一个有限的可分正规扩张,G是保持F的元素不动的E的全部自同构组成的群。伽罗瓦基本定理包含下列的几个论断：
① 群G的阶就等于扩张E对于F的次数；
② 对于G的任意一个子群h,考虑E中全部在h下保持不动的元素，它们构成一个中间域E,E
