斯特瓦尔特定理 斯特瓦尔特定理-斯特瓦尔特定理的证明,斯特瓦尔

斯特瓦尔特(stewart)定理


设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有
AB2・DC+AC2・BD-AD2・BC=BC・DC・BD。

张角定理_斯特瓦尔特定理 -斯特瓦尔特定理的证明

斯特瓦尔特定理 斯特瓦尔特定理-斯特瓦尔特定理的证明,斯特瓦尔

证明:在图2-6中,作AH⊥BC于H。为了明确起见,设H和C在点D的同侧,那么由广勾股定理有
AC^2=AD^2+DC^2-2DC・DH,(1)
AB^2=AD^2+BD^2+2BD・DH。 (2)
用BD乘(1)式两边得
AC^2・BD=AD^2・BD+DC^2・BD-2DC・DH・BD,①
用DC乘(2)式两边得
AB^2・DC=AD^2・DC+BD^2・DC+2BD・DH・DC。②
由 ① + ② 得到
AC^2・BD+AB^2・DC=AD^2(BD+DC)+DC^2・BD+BD^2・DC
=AD^2・BC+BD・DC・BC。
∴AB^2・DC+AC^2・BD-AD^2・BC=BC・DC・BD。
或者根据余弦定理得
AB^2=PB^2+PA^2-2PB・PA・cos∠APB
AC^2=PA^2+PC^2-2PA・PC・cos∠APC
两边同时除以PB・PA・PC得
AC^2・PB+AB^2・PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB
化简即可(注:图中2-7A点为P点,BDC点依次为ABC)
斯特瓦尔特定理的逆定理成立

张角定理_斯特瓦尔特定理 -斯特瓦尔特定理的推论


斯特瓦尔特定理还有如下推论
(1)若AB=AC,则AP^2=AB^2-BP・PC
(2)若AP为BC中线,则AP^2=1/2(AB^2+AC^2)-1/4*BC^2 (即中线长定理)
(3)若AP为∠A内角平分线,则AP^2=AB・AC  

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