爱华网黎曼-斯蒂尔杰斯（简记为R-S）积分和勒贝格-斯蒂尔杰斯（简记为L-S）积分的统称。由荷兰数学家斯蒂尔杰斯提出，故名。函数f（x）关于函数g（x）的（R-S）积分用f（x）d（x）表示，是黎曼（简记为R） 积分的直接推广，当g（x）＝x时，就是微积分中的（R）积分，它在物理中的应用尤为重要，因为它能对连续分布的质量和集中分布的质量统一用一个积分公式进行计算，(L-S）积分是关于（L-S）测度的一种积分，（L）积分是它的特殊情形，（L-S）积分在概率论中有着十分重要的应用。
黎曼积分_黎曼－斯蒂尔杰斯积分 -黎曼－斯蒂尔杰斯积分
黎曼积分_黎曼－斯蒂尔杰斯积分 -正文
数学中常用的一种积分。它是黎曼积分的推广。通常利用黎曼积分可以计算几何形体的面积、体积，物理和力学中的功、能，物体的重心和转动惯量以及更一般的矩等等。例如，设【α,b】上分布了一些有质量的物质（或电荷）。如果分布是非均匀的，但有密度，并且密度函数ρ(x)在【α，b】上是连续的或黎曼可积的,那么物质（或电荷）对【α,b】外某点c的矩（或电位）可用形式为的黎曼积分来计算。如果计算n次矩，?(x)便是(x-c)n;如果计算位能,?(x)便是。然而，当分布根本没有密度函数时，黎曼积分对上述问题就失效了。因此，数学上有必要引入下面更广泛的积分概念。
设?(x)，g(x)是【α,b】上两个函数（可以是复值函数）。对【α,b】上任何分点组
，作和式
，
，记
，如果存在S,使得
,则称?(x)关于g(x)在【α,b】上是黎曼－斯蒂尔杰斯可积的,并称S为?(x)关于g(x)的黎曼－斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)。通常记S为
。特别，当g(x)=x+с（с是常数）时，上面的积分S就是?(x)的黎曼积分。又如果g(x)表示【α,x】上总质量或总电荷量，那么g(xi)-g(xi-1)便是(xi-1，xi】（当xi-1=α时，应是【xi-1,xi】）上总质量或总电荷量。因此,上述新积分就能用来计算非均匀分布，特别是密度函数不存在时非均匀分布关于某点с的矩或电位。R-S积分是建立一般的曲线积分的基础。
黎曼－斯蒂尔杰斯积分有下面常用性质。
① 如果?(x)、g(x)有一个公共的不连续点,则积分不存在。
② 线性性质。设α，β是任何两个复数，如果?(x)关于g1(x)和g2(x)可积，则如果?1(x)、?2(x)关于g(x)都可积，则③ 区间可加性。?(x)关于g(x)在【α,b】上可积,当且仅当对任何с∈【α,b】，?(x)关于g(x)分别在【α,с】，【с,b】上都可积，此时
。
。
⑥ 设?(x)是【α,b】上有界函数，g(x)是【α,b】上的有界变差函数，ωi表示?(x)在【xi-1,xi】上的振幅，即
，
则?(x)关于g(x)可积当且仅当对任何给定的 η>0，和对任何分点组
，
。
⑦M-l不等式。如果?(x)是有界函数，g(x)是有界变差函数，并且?(x)关于g(x)可积，则
，
是g的全变差（见有界变差函数）。
⑧ 如果g(x)是【α,b】上有界变差函数,{?n(x)}是【α,b】上关于g(x)可积的一列有界函数，并且一致收敛于?(x)，则?(x)必关于g(x)可积，并且
。
，那么?(x)关于g(x)可积，且
。
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