爱华网黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a=x0
黎曼和_黎曼积分 -黎曼积分
中文:黎曼积分英文:Riemann Integral 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σ f(ζi)ΔXi叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1)存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)
概念
对于一在区间[a,b]上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为
黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如f(x)取负值，则相应的面积值S亦取负值。
定义区间的分割
一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a=x0
再定义取样分割。一个闭区间[
,
]的一个取样分割是指在进行分割a=x0
,
+ 1]取出一点 xi≤ti≤xi+1。λ的定义同上。 精细化分割：设x0,...,xn以及t0,...tn-1构成了闭区间[
,
]的一个取样分割，y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n，都存在
(
)使得
=
(
)，并存在 使得
=
，那么就把分割：y0,...,ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。 于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。
黎曼和
对一个在闭区间[
,
]有定义的实值函数
，
关于取样分割x0,...,xn-1 、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式： 和式中的每一项是子区间长度
+ 1 ?
与在
处的函数值
(
)的乘积。直观地说，就是以标记点
到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。
