中位线 中位线-含义,中位线-相关定理

包括三角形中位线和梯形中位线。(1)三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(2)梯形中位线定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。

三角形中位线定理_中位线 -含义


(1)三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(2)梯形中位线定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意:
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它对边的中点,而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连接两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系:可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

三角形中位线定理_中位线 -相关定理

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
如图,三角形两边中点的连线(中位线)平行于第BC边,且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形(中点三角形)面积是原三角形面积的四分之一。
证明

例题




如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。
求证DE平行且等于BC/2

法一:过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD
∴∠BAC=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF
∵D为AB中点
∴AD=BD
∵AD=CF、AD=BD
∴BD=CF
∵BD∥CF、BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
∴在平行四边形ADCF中DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.


法二:利用相似证
∵D,E分别是AB,AC两边中点
∴AD=AB/2AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF∥BC且DE=BC/2
法三:坐标法
设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
则一条边长为:根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

其他题目

已知:在△ABC中,中位线EF与中线AD相交于点O,
求证:AD与EF互相平分.
证明:连接DE、DF,
∵点D、E分别是BC、AB的中点,∴DE∥AC,
同理得DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴AD与EF互相平分.

三角形中位线定理_中位线 -逆定理

中位线 中位线-含义,中位线-相关定理
逆定理一:
如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。
逆定理二:
如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2
【证法①】
取AC中点G,联结DG
则DG是三角形ABC的中位线
∴DG∥BC
又∵DE∥BC
∴DG和DE重合(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线重合)
(2)梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。

三角形中位线定理_中位线 -性质

梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.梯形
中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积,用符号表示是L.
l=(a+b)÷2
已知中位线长度和高,就能求出梯形的面积.
S梯=lh
中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

三角形中位线定理_中位线 -证明

四边形ABCD是梯形,AD∥BC,E、F分别是AB、CD边上的中点,求证:EF∥AD,且EF=(AD+BC)/2

梯形中位线证明:
连接AF并延长交BC的延长线于G。
∵AD∥BC
∴∠ADF=∠GCF
∵F是CD的中点
∴DF=FC
∵∠AFD与∠CFG是对顶角
∴∠AFD=∠CFG
∴△ADF≌△CGF(ASA)
∴AF=FG,AD=CG
∴F是AG的中点
∵E是AB的中点
∴EF是△ABG的中位线
∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2
∴EF=(AD+BC)/2
∵AD∥BC
∴EF∥AD∥BC

三角形中位线定理_中位线 -扩展

三角形三条中位线所构成的三角形是原三角形的相似图形。

  

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