等度连续 等度连续-等度连续的定义,等度连续-等度连续的应用

一致连续_等度连续 -等度连续的定义

定义一

对于定义在区间I上的函数序列{fn(x)}称为等度连续的,如果对任意的n,fn(x)在区间I上一致连续。

定义二

设{fn(x)}是定义在区间I上的连续函数序列,如果对任意的n(正整数)、ε(正实数),存在正实数δ(只与ε有关,而与x和n无关),使得对于任意满足|x1-x2|<δ的x1、x2,对任意的n,都有|fn(x1)-fn(x2)|<ε,则称函数序列在区间I上等度连续。

一致连续_等度连续 -等度连续的应用

应当指出的是,等度连续是非常严格的。具有等度连续性的函数序列往往具有特别的性质。

阿索里引理

闭区间I上的等度连续函数序列{fn(x)}存在子列{fnk(x)}在区间I上一致收敛。

连(Liam)定理

闭区间&#91;a,b&#93;上的连续函数序列在&#91;a,b&#93;上等度连续与在(a,b)上等度连续等价。

一致连续_等度连续 -等度连续与一致连续一致收敛的关系

一致连续

数学分析中,一元函数的一致连续被定义为:

定义在区间I上的连续函数f(x)称为一致连续的,如果对于任意的ε>0,都有δ>0(只与ε有关而与x无关)使得对于任意定义区间内的满足|x1-x2|<δ的x1、x2,有|f(x1)-f(x2)|<ε。

可以看到,一元函数一致连续的定义与前述等度连续(定义二)是类似的。事实上,等度连续意味着函数序列中每一个fn(x)都在定义区间内一致连续。

一致收敛

数学分析中,函数项级数的一致收敛被定义为:

函数项级数∑(n:1 → +∞) Un(x)在Un(x)的定义区间A上收敛于极限函数f(x),若对于任意给定的正实数ε,都存在一个只与ε有关与x无关的正整数N,使得对于任意的n>N以及x∈A都有|f(x) - ∑(i:1→n) Ui(x)|<ε,则称函数项级数∑(n:1 → +∞) Un(x)在定义区间A上一致收敛。

等度连续与一致收敛的关系通过阿索里引理建立,即闭区间I上的等度连续函数序列{fn(x)}存在子列{fnk(x)}在区间I上一致收敛。

等度连续 等度连续-等度连续的定义,等度连续-等度连续的应用
  

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