爱华网在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部a如果等于零，且虚部b不等于零，则称为纯虚数。由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号i。大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。
虚数空间_虚数单位 -基本释意
在计算中常用到的是：i^2 = -1 ，即虚数单位的平方为负一。在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部a如果等于零，且虚部b不等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
虚数空间_虚数单位 -定义
虚数单位
虚数单位i定义为二次方程式
的两个解中的一个解。这方程式又可等价表达为
虚数单位
所以虚数单位同样可以表示为：
由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号i。很重要的一点是,i是一个良定义的数学构造。
虚数空间_虚数单位 -性质
基本性质
虚数单位
实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设i是一个未知数，然后依照i的定义，替代任何
的出现为-1。的更高整数幂数也可以替代为-i，1或i，
一般地，有以下的公式：
虚数单位
其中mod 4表示被4除的余数。
i与-i
虚数单位
方程
有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭复数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解i，那么?i（不等于i）也是一个解，由于这个方程是唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为i，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然?i和i在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是i和?i之间没有质量上的区别（?1和+1就不是这样的）。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的+i换成?i，而把?i换成?(?i) = +i，那么所有的事实和定理都依然是正确的。
虚数空间_虚数单位 -正当使用
虚数单位
虚数单位有时记为
。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。
虚数单位
公式
仅对于非负的实数和才成立。
虚数单位
为了避免这种错误，尽量不要用平方根来表示虚数。例如我们不应使用
，而应使用
。
虚数空间_虚数单位 -i的运算
许多实数的运算都可以推广到，例如平方根、幂、对数和三角函数。
平方根
虚数单位
以i为底的对数
虚数单位
余弦
虚数单位
正弦
虚数单位
虚数空间_虚数单位 -编程语言
大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。
在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。
虚数单位在复平面位置
