三面角正弦定理 三面角正弦定理-表述 ,三面角正弦定理-证明

三面角正弦定理 三面角正弦定理-表述 ,三面角正弦定理-证明

三面角正弦定理是一个数学定理。 是立体几何的基本概念之一,是组成多面体的重要元素。与平面几何中有关三角形的正、余弦定理类似,有关三面角的正、余弦定理是解三面角的重要依据。

正弦定理的证明_三面角正弦定理 -表述:

设三面角∠P-ABC的三个面角∠BPC,∠CPA,∠APB所对的二面角依次为∠PA,∠PB,∠PC,则


Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

正弦定理的证明_三面角正弦定理 -证明:

过A做OA⊥平面BPC于O。过O分别做OM⊥BP于M与ON⊥PC于N。连结AM、AN。


显然,∠PB=∠AMO,Sin∠PB=AO/AM;∠PC=∠ANO,Sin∠PC=AO/AN。


另外,Sin∠CPA=AN/AP,Sin∠APB=AM/AP。


则Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/(AM×AN)=Sin∠PC/Sin∠APB。


同理可证Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA。即可得证三面角正弦定理。

正弦定理的证明_三面角正弦定理 -全向量证明

三面角的全向量证明

  

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