详讲“五点法”作图
以y=2sin(0.5x+π/6)为例详细地讲一下,用“五点法”作型如y=Asin(ωx+φ)的函数图象。
我们知道函数y=sinx图象在[0,2π]上有五个点很重要它们是:
(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,-1),(2π,0)
在坐标系中作出上述五个点,用光滑曲线依次连接上述五个点得到函数y=sinx在[0,2π]上图象。
把y=sinx的图象沿x轴向左平移π/6个单位得到y=sin(x+π/6)的图象,这时上述五个点中的(π/2,1)变成了(π/3,1)(为了简便这里仅以(π/2,1)为例,);
将得到的图象即函数y=sin(x+π/6)的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函数y=sin(0.5x+π/6)的图象,这时(π/3,1)变为(2π/3,1);
再将得到的图象即函数y=sin(0.5x+π/6)的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变得到函数y=2sin(0.5x+π/6)的图象,这时点(2π/3,1)变为(2π/3,2);其它四点同理可得依次为
(-π/3,0),(5π/3,0),(8π/3,-2),(11π/3,0).
因此,为了作函数y=2sin(0.5x+π/6)的图象只要在坐标系内作出五个点(-π/3,0),(2π/3,2),(5π/3,0),(8π/3,-2),(11π/3,0),用光滑曲线依次连接这五个点得到函数y=2sin(0.5x+π/6)在一个整周期上的图象.再依周期性得到整个实数集上的图象。
像上面得到这五个点我们仍然觉得有些麻烦。还先以这两点(π/2,1)和(2π/3,2)为例,事实上,2π/3就是方程0.5x+π/6=π/2的解,点(2π/3,2)的纵坐标可以将横坐标代入而得到。其它的四个点横坐标也都是对应的方程0.5x+π/6=0,0.5x+π/6=π,0.5x+π/6=3π/2,0.5x+π/6=2π的解,再将得到的横坐标代入得到该点纵坐标。
总结一下:
用“五点法”作函数y=2sin(0.5x+π/6)图象步骤
1.令0.5x+π/6分别等于0,π/2,π,3π/2,2π依次求出五个点的横坐标x
2.求出这五个点的纵坐标,在坐标系中作出这五个点。
3.作出一个周期内的函数图象。
4.根据函数周期性做出R上和图象。
一般情况:
用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象步骤
1.令ωx+φ分别等于0,π/2,π,3π/2,2π依次求出五个点的横坐标x
2.求出这五个点的纵坐标,在坐标系中作出这五个点。
3.作出一个周期内的函数图象。
4.根据函数周期性做出R上和图象。
例题选讲:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图,求它的解析式。
解:由图可知A=2,由五点法作图得到:
解得ω=1,φ=π/6
所以y=2sin(x+π/6)
点评:此题关键在于观察出图中的二个点(0,1)和(11π/6,0)是由标准正弦函数y=sinx图象上对应点(π/6,0)和(2π,0)变化得到的。因此才能列出这二个方程。如果用点(0,1)和(11π/6,0)在所求函数图象上代入所求解析式中,存在对φ的解的取舍问题上。因此不如上述“五点法”容易。