多项式回归分析 指数回归模型的应用

三、多项式回归

1、一元多项式回归函数

y=a1xm+a2xm-1+....+amx+am+1

多项式回归分析 指数回归模型的应用
(1)[p,S]=polyfit(x,y,m) 确定多项式系数的MATLAB命令
说明:x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn);p=(a1,a2,…,am+1)是多项式y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1的系数;S是一个矩阵,用来估计预测误差

(2)polytool(x,y,m) 调用多项式回归GUI界面,参数意义同polyfit

2、预测和预测误差估计
(1)Y=polyval(p,x)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y

(2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA,alpha缺省时为0.5

3、实例演示说明
观测物体降落的距离s与时间t的关系,得到数据如下表,求s的表达式(即回归方程s=a+bt+ct2)

t (s) 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30
s (cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13

t (s) 8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30
s (cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48

解法一:直接作二次多项式回归

  1. >>t=1/30:1/30:14/30;
  2. >>s=[11.86 15.67 20.6026.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54146.48];
  3. >>[p,S]=polyfit(t,s,2)
  4. p =
  5. 489.2946 65.8896 9.1329
  6. S =
  7. R: [3x3double]
  8. df: 11
  9. normr: 0.1157
故回归模型为:S=489.2946t^2+ 65.8896 t+ 9.1329
解法二:化为多元线性回归
  1. >>t=1/30:1/30:14/30;
  2. >>s=[11.86 15.67 20.6026.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54146.48];
  3. >>T=[ones(14,1) t'(t.^2)'];
  4. >>[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T)
  5. b =
  6. 9.1329
  7. 65.8896
  8. 489.2946
  9. bint =
  10. 9.0614 9.2044
  11. 65.2316 66.5476
  12. 488.0146 490.5747
  13. r =
  14. -0.0129
  15. -0.0302
  16. -0.0148
  17. 0.0732
  18. 0.0040
  19. 0.0474
  20. -0.0165
  21. -0.0078
  22. -0.0363
  23. -0.0222
  24. 0.0046
  25. -0.0059
  26. -0.0237
  27. 0.0411
  28. rint =
  29. -0.0697 0.0439
  30. -0.0956 0.0352
  31. -0.0876 0.0580
  32. 0.0182 0.1283
  33. -0.0709 0.0789
  34. -0.0192 0.1139
  35. -0.0894 0.0563
  36. -0.0813 0.0658
  37. -0.1062 0.0335
  38. -0.0955 0.0511
  39. -0.0704 0.0796
  40. -0.0793 0.0675
  41. -0.0904 0.0429
  42. -0.0088 0.0910
  43. stats =
  44. 1.0e+007 *
  45. 0.0000 1.0378 0 0.0000
故回归模型为:S=9.1329+65.8896t + 489.2946 t^2

预测及作图
  1. Y=polyconf(p,t,S);
  2. plot(t,s,'k+',t,Y,'r')


1、多元二项式回归Matlab命令

rstool(x,y,'model',alpha)
输入参数说明:
x:n*m矩阵;
Y:n维列向量;
alpha:显著性水平(缺省时为0.05);
mode:由下列4个模型中选择1个(用字符串输入,缺省时为线性模型)


2、实例演示说明
设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量
需求量 100 75 80 70 50 65 90 100 110 60
收入 1000 600 1200 500 300 4001300 1100 1300 300
价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9

解法一:选择纯二次模型

y=β0+β1x1+β2x2+β11x1^2+β22x2^2

  1. %直接用多元二项式回归如下
  2. x1=[1000 600 1200 500 300400 1300 1100 1300 300];
  3. x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 39];
  4. y=[100 75 80 70 50 65 90 100110 60]';
  5. x=[x1' x2'];
  6. rstool(x,y,'purequadratic')


在x1对应的文本框中输入1000,X2中输入6,敲回车键,此时图形和相关数据会自动更新
此时在GUI左边的“PredictedY1”下方的数据变为88.47981,表示平均收入为1000、价格为6时商品需求量为88.4791
点击左下角的Export按钮,将会导出回归的相关参数beta、rmse和residuals到工作空间(workspace)
在Export按钮下面可以选择回归类型
在Matlab命令窗口中输入
  1. >>beta, rmse
  2. beta =
  3. 110.5313
  4. 0.1464
  5. -26.5709
  6. -0.0001
  7. 1.8475
  8. rmse =
  9. 4.5362

由此得回归模型为:y=110.5351+0.1464x1-26.5709x2-0.0001x1^2+1.8475x2^2
解法二:将上面的模型转换为多元线性回归

y=β0+β1x1+β2x2+β11x1^2+β22x2^2

  1. >>X=[ones(10,1) x1'x2' (x1.^2)' (x2.^2)'];
  2. >>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);
  3. >>b,stats
  4. b =
  5. 110.5313
  6. 0.1464
  7. -26.5709
  8. -0.0001
  9. 1.8475
  10. stats =
  11. 0.9702 40.6656 0.000520.5771


fromhttp://hi.baidu.com/wm11joy/item/f1f2593dae243cc42f8ec245

  

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