爱华网Γ函数
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| 微积分学 | ||||||||||||
函数 · 导数 · 微分 · 积分
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函数，也叫做伽玛函数（Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数z，伽玛函数定义为:
此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。
如果n为正整数，则伽玛函数定义为:
- Γ(n) = (n −1)!，
这显示了它与阶乘函数的联系。可见，伽玛函数将n拓展到了实数与复数域上。
在概率论中常见此函数，在组合数学中也常见。
目录[隐藏] |
[编辑] 定义
函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：
对复数，我们要求Re(z)> 0。
Γ函数还可以通过对做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：
这样定义的Γ函数在全平面除了以外的地方解析。
Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示：
这样定义的Γ函数在全平面解析
[编辑] 无穷乘积
函数可以用无穷乘积表示：
其中是欧拉-马歇罗尼常数。
[编辑] Gamma积分
[编辑] 递推公式
函数的递推公式为：Γ(x + 1) =xΓ(x)，
对于正整数，有
Γ(n + 1) = n!，
可以说函数是阶乘的推广。
[编辑] 递推公式的推导
我们用分部积分法来计算这个积分：
当时，。当趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：
.
因此第一项变成了零，所以：
等式的右面正好是。因此，递推公式为：
- 。
[编辑] 重要性质
Γ函数在实轴上的函数图形- 由此可知当时，。
- 。
- 。
此式可用来协助计算t分布机率密度函数、卡方分布机率密度函数、分布机率密度函数等的累计机率。
[编辑] 特殊值
[编辑] 导数
[编辑] 复数值
[编辑] 斯特灵公式
斯特灵公式能用以估计Γ函数的增长速度。
[编辑] 解析延拓
Γ函数的绝对值函数图形注意到在Γ函数的积分定义中若取为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程
并注意到函数在整个复平面上有解析延拓，我们可以在Re(z)< 1时设
从而将函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在有单极点，留数为
