伽玛函数 伽玛函数计算

Γ函数

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函数,也叫做伽玛函数(Gamma函数),是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数z,伽玛函数定义为:

此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上,非正整数除外。

如果n为正整数,则伽玛函数定义为:

Γ(n) = (n −1)!,

这显示了它与阶乘函数的联系。可见,伽玛函数将n拓展到了实数与复数域上。

在概率论中常见此函数,在组合数学中也常见。

目录

[隐藏]
  • 5 重要性质
  • 6 特殊值
  • 7 导数
  • 8 复数值
  • 9 斯特灵公式
  • 10 解析延拓
  • 11 参见
  • 12 外部链接
  • [编辑] 定义

    函数可以通过欧拉(Euler)第二类积分定义:

    对复数,我们要求Re(z)> 0。

    Γ函数还可以通过对做泰勒展开,解析延拓到整个复平面:

    这样定义的Γ函数在全平面除了以外的地方解析。

    Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示:

    这样定义的Γ函数在全平面解析

    [编辑] 无穷乘积

    函数可以用无穷乘积表示:

    其中是欧拉-马歇罗尼常数。

    [编辑] Gamma积分

    [编辑] 递推公式

    函数的递推公式为:Γ(x + 1) =xΓ(x),

    对于正整数,有

    Γ(n + 1) = n!,

    可以说函数是阶乘的推广。

    [编辑] 递推公式的推导

    我们用分部积分法来计算这个积分:

    当时,。当趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:

    .

    因此第一项变成了零,所以:

    等式的右面正好是。因此,递推公式为:

    [编辑] 重要性质

    Γ函数在实轴上的函数图形
    由此可知当时,。

    此式可用来协助计算t分布机率密度函数、卡方分布机率密度函数、分布机率密度函数等的累计机率。

    [编辑] 特殊值

    [编辑] 导数

    [编辑] 复数值

    [编辑] 斯特灵公式

    斯特灵公式能用以估计Γ函数的增长速度。

    [编辑] 解析延拓

    Γ函数的绝对值函数图形

    注意到在Γ函数的积分定义中若取为实部大于零之复数、则积分存在,而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程

    并注意到函数在整个复平面上有解析延拓,我们可以在Re(z)< 1时设

    从而将函数延拓为整个复平面上的亚纯函数,它在有单极点,留数为

      

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